th1 n là số lẻ 

nếu n là số lẻ thì n+2017 là số chẵn nên (n+2016).(n+2017)là 1 số chẵn 

th2 n là số chẵn 

nếu n là số chẵn thì n+2016 là số chẵn nên (n+2016).(n+2017)là 1 số chẵn

Với mọi \(n\in N\) thì trong 2 số \(n\) và \(n+2017\) luôn có 1 số chẵn và 1 số lẻ

\(\Rightarrow\)Tích của chúng là số chẵn(đpcm)

Nếu n là chẵn thì n+1 là lẻ.

Ta có: n.(n+1) là chẵn nhân lẻ nên sẽ có kết quả n.(n+1) là chẵn.

Nếu n là lẻ thì n+1 là chẵn

Ta có: n.(n+1) là lẻ nhân chẵn nên sẽ có kết quả n.(n+1) là chẵn

Vậy n . ( n + 1 ) là số chẵn với mọi số tự nhiên n

xet n=2k =>n chia het cho 2

xét n=2k+1=>n+1=2k+1+1=2k+2=2(k+1) chia hết cho 2

vay n.(n+1) la so chan voi moi so tu nhien n

Nếu n là chẵn thì n+1 là lẻ.

Ta có: n.(n+1) là chẵn nhân lẻ nên sẽ có kết quả n.(n+1) là chẵn.

Nếu n là lẻ thì n+1 là chẵn

Ta có: n.(n+1) là lẻ nhân chẵn nên sẽ có kết quả n.(n+1) là chẵn

Vậy n . ( n + 1 ) là số chẵn với mọi số tự nhiên n

Giả sử nếu n là một số lẻ ta có:

 n + 2010 là một số lẻ

 n + 2013 là một số chẵn

Mà tích của một số lẻ và một số chẵn là số chẵn

=> Với n là một số lẻ thì thỏa mãn yêu cầu đề bài

Giả sử nếu n là một số chãn ta có:

 n + 2010 là một số chẵn

 n + 2013 là một số lẻ

Mà tích của.... ( viết như trên)

=> Với n là một số chẵn cũng thỏa mãn yêu cầu đề bài

Vậy (n+2010)(n+2013) là một số chẵn với mọi số tự nhiên n 

<=> ĐPCM

_HT_

\(n\left(n+5\right)\)

+ Với n chẵn:

\(\Rightarrow n⋮2\Rightarrow n\left(n+5\right)⋮2\) là số chẵn với mọi số tự nhiên n

+ Với n lẻ:

\(\Rightarrow n+5⋮2\Rightarrow n\left(n+5\right)⋮2\) là số chẵn với mọi số tự nhiên n

chẵn x lẻ = chẵn và ngược lại lẻ x chẵn = chẵn;nếu N = chẵn thì trong ngoặc = lẻ;chẵn x lẻ = chẵn

nếu N = lẻ thì trong ngoặc bằng chẵn ; lẻ x chẵn = chẵn

tick cho mình nhé

Nếu n là số chẵn thì n + 7 là số lẻ

số lẻ . số chẵn = số chẵn ((n+7).n)

nếu n là số lẻ thì n + 7 là số chẵn

số lè . số chẵn = số chẵn (n.(n+7))

n= 2k :

\(n\left(n+7\right)=2k\left(2k+7\right)\) => chẵn 

n=2k+1 

\(n\left(n+7\right)=\left(2k+1\right)\left(2k+8\right)=\left(2k+1\right)2\left(k+4\right)\) => chẵn 

Vậy tích n(n+7) là số chẵn với mọi stn

Nếu n không chia hết cho 2 thì n có dạng 2k+1 (kϵN)

⇒ (n+4).(n+7)=(2k+1+4).(2k+1+7)=(2k+5).(2k+8)⋮2 (vì 2k+8⋮2) (1)

Nếu n chia hết cho 2 thì n có dạng 2k (kϵN)

⇒ (n+4).(n+7)=(2k+4).(2k+7)⋮2 (vì 2k+4⋮2) (2)

Từ (1) và (2)⇒ Với mọi số tự nhiên n thì tích (n+4).(n+7)⋮2 (ĐPCM)

Vì n là số tự nhiên nên n có dạng 2k hoặc 2k + 1 ( k ϵ N )

Nếu n = 2k

⇒ 2k + 4 = 2( k + 2 ) ⋮ 2

Suy ra ( n + 4 )( n + 7 ) ⋮ 2 hay ( n + 4 )( n + 7 ) là số chẵn

Nếu n = 2k + 1

⇒ 2k + 8 = 2( k + 4 ) ⋮ 2

Suy ra ( n + 4 )( n + 7 ) ⋮ 2 hay ( n + 4 )( n + 7 ) là số chẵn

Vậy với mọi số tự nhiên n thì ( n + 4 )( n + 7 ) là số chẵn

Để \(\left(n+4\right).\left(n+7\right)\) là số chẵn

\(\Rightarrow\left(n+4\right)\left(n+7\right)\ge2n\) \(\left(n\in N\right)\)

\(\Rightarrow n^2+11n+28-2n\ge0\)

\(\Rightarrow n^2+9n+28\ge0\) 

\(\Rightarrow n^2+9n+\dfrac{81}{4}-\dfrac{81}{4}+28\ge0\)

\(\Rightarrow\left(n-\dfrac{9}{2}\right)^2+\dfrac{31}{4}\ge0\left(1\right)\)

mà \(\left(n-\dfrac{9}{2}\right)^2+\dfrac{31}{4}>0\) \(\left(\left(n-\dfrac{9}{2}\right)^2+\dfrac{31}{4}\ge\dfrac{31}{4}\right)\)

⇒ (1) luôn đúng với mọi n ϵ N

⇒ Điều phải chứng minh

Với n chẵn thì n = 2k

\(\Rightarrow16^{2k}-1=256^k-1=\left(256-1\right)\left(256^{k-1}+...\right)\)\(=255\left(256^{k-1}+...\right)=17.15.\left(256^{k-1}+...\right)\)

Chia hết cho 17

Với n lẻ thì n = 2k + 1

\(\Rightarrow16^{2k+1}-1=16\left(16^{2k}-1\right)+15\)không chia hết cho 17

Vậy 16ⁿ - 1 chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn