Cho a,b,c là các số nguyên dương thoả mãn a^2+ b^2 +c^2 chia hết cho 10 thì abc cũng chia hết cho 10
Cho a,b,c là các số nguyên dương thoả mãn a^2+ b^2 +c^2 chia hết cho 10 cmr abc cũng chia hết cho 10
1. Tìm những cặp số (x,y) thoả mãn pt:
a) x² - 4x +y - 6√(y) + 13 = 0
b) (xy²)² - 16xy³ + 68y² -4xy + x² = 0
c) x² - x²y - y + 8x + 7 = 0 ngiệm (x,y) nào đạt y max
2. Giả sử x1, x2 là nghiệm của pt: x² - 6x + 1 =0. CM với mọi số nguyên dương n thì S(n) = x1ⁿ +x2ⁿ là số nguyên và không chia hết cho 5
3. Cho f(x) là một đa thức tuỳ ý với các hệ số nguyên. CM: f(a) - f(b) chia hết (a - b) với mọi số nguyên a,b
4. Chứng minh tồn tại đa thức p(x) với hệ số nguyên thoả p(3) = 10, p(7) = 24
5. Giả sử x, y, z là những số tự nhiên thoả x² + y² = z². Chứng minh xyz chia hết cho 60
6. Cho x,y,z là các số nguyên thoả (x-y)(y-z)(z-x) = x + y + z. CM: x +y + z chia hết cho 27
7. Với 4 số nguyên a,b,c,d .CM:(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) chia hết cho 12.
8. Chứng minh nếu a² + b² chia hết cho 21 thì cũng chia hết cho 441
9. Tìm tất cả số nguyên tố vừa là tổng của 2 số nguyên tố, vừa là hiệu của 2 số nguyên tố
10. Viết số 100 thành tổng các số nguyên tố khác nhau
11. Tìm các nghiệm nguyên dương x! + y! = (x + y)!
12. Tìm các số tự nhiên n sao cho 2ⁿ +3ⁿ = 35
13. Tìm 3 số nguyên dương sao cho tích của chúng gấp đôi tổng của chúng
14. Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng và tích của chúng bằng nhau (Tương tự với 3 số nguyên dương)
15. Tìm 3 số nguyên dương x,y,z sao cho xy + 1 chia hết cho z; xz +1 chia hết cho y; yz + 1 chia hết cho x
16. a) CM x² + y² = 7z²
b) CM số 7 ko viết được dưới dạng tổng bình phương của 2 số hửu tỉ
1. Tìm những cặp số (x,y) thoả mãn pt:
a) x² - 4x +y - 6√(y) + 13 = 0
b) (xy²)² - 16xy³ + 68y² -4xy + x² = 0
c) x² - x²y - y + 8x + 7 = 0 ngiệm (x,y) nào đạt y max
2. Giả sử x1, x2 là nghiệm của pt: x² - 6x + 1 =0. CM với mọi số nguyên dương n thì S(n) = x1ⁿ +x2ⁿ là số nguyên và không chia hết cho 5
3. Cho f(x) là một đa thức tuỳ ý với các hệ số nguyên. CM: f(a) - f(b) chia hết (a - b) với mọi số nguyên a,b
4. Chứng minh tồn tại đa thức p(x) với hệ số nguyên thoả p(3) = 10, p(7) = 24
5. Giả sử x, y, z là những số tự nhiên thoả x² + y² = z². Chứng minh xyz chia hết cho 60
6. Cho x,y,z là các số nguyên thoả (x-y)(y-z)(z-x) = x + y + z. CM: x +y + z chia hết cho 27
7. Với 4 số nguyên a,b,c,d .CM:(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) chia hết cho 12.
8. Chứng minh nếu a² + b² chia hết cho 21 thì cũng chia hết cho 441
9. Tìm tất cả số nguyên tố vừa là tổng của 2 số nguyên tố, vừa là hiệu của 2 số nguyên tố
10. Viết số 100 thành tổng các số nguyên tố khác nhau
11. Tìm các nghiệm nguyên dương x! + y! = (x + y)!
12. Tìm các số tự nhiên n sao cho 2ⁿ +3ⁿ = 35
13. Tìm 3 số nguyên dương sao cho tích của chúng gấp đôi tổng của chúng
14. Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng và tích của chúng bằng nhau (Tương tự với 3 số nguyên dương)
15. Tìm 3 số nguyên dương x,y,z sao cho xy + 1 chia hết cho z; xz +1 chia hết cho y; yz + 1 chia hết cho x
16. a) CM x² + y² = 7z²
b) CM số 7 ko viết được dưới dạng tổng bình phương của 2 số hửu tỉ
1,cho a,b là các số nguyên dương thoả mãn : a^2+b^2 chia hết cho a.b
tính giá trị của biểu thức A= (a^2+b^2)/2ab
2, cho tập hợp A gồm 21 phần tử là các số nguyên khác nhau thoả mãn tổng của 11 phần tử bất kì lớn hơn tổng của 10 phần tử còn lại. biết các số 101,102 thuộc A. tìm tất cả các phần tử của A
Cho các số nguyên a,b,c thoả mãn :
\(a^2+b^2=c^2\) . CMR : abc chia hết cho 3
Bài làm có sử dụng các bổ đề: số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1. Số chính phương chia 5 dư 0, 1 hoặc 4. Số chính phương chia hết cho p (p là số nguyên tố) thì phải chia hết cho p².
~~~~~~~~~
a) - Nếu a hoặc b chia hết cho 3 => abc chia hết cho 3.
- Nếu a không chia hết cho 3 và b không chia hết cho 3 => a² chia 3 dư 1, b² chia 3 dư 1 => c² chia 3 dư 2 (vô lí)
Vậy trường hợp a không chia hết cho 3 và b không chia hết cho 3 không xảy ra => abc chia hết cho 3 (*)
b) - Nếu a, b cùng chẵn => ab chia hết cho 4 => abc chia hết cho 4.
- Nếu a, b cùng lẻ => a = 2t + 1; b = 2k + 1 (t; k thuộc N)
=> a² + b² = (2t +1)² + (2k + 1)² = 4t² + 4t + 4k² + 4k + 2 = 4(t² + t + k² + k) + 2 => a² + b² chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 => c² chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 (vô lí)
Vậy trường hợp a, b cùng lẻ không xảy ra.
- Nếu a lẻ, b chẵn => c lẻ. Đặt a = 2m + 1; b = 2n; c= 2p + 1. (m, n, p thuộc N).
=> a² + b² = c²
<=> (2m + 1)² + (2n)² = (2p + 1)²
<=> 4m² + 4m + 1 + 4n² = 4p² + 4p + 1
<=> n² = p² + p - m² - m
<=> n² = p(p + 1) - m(m + 1).
p(p + 1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp => p(p + 1) chia hết cho 2. Cmtt => m(m + 1) chia hết cho 2 => p(p + 1) - m(m + 1) chia hết cho 2 => n² chia hết cho 2 => n chia hết cho 2 => b chia hết cho 4 => abc chia hết cho 4.
- Nếu a chẵn, b lẻ. Cmtt => a chia hết cho 4 => abc chia hết cho 4.
Vậy abc chia hết cho 4 (**)
c) - Nếu a hoặc b chia hết cho 5 => abc chia hết cho 5.
- Nếu a không chia hết cho 5 và b không chia hết cho 5 => a² chia 5 dư 1 hoặc 4; b² chia 5 dư 1 hoặc 4.
+ Nếu a² chi 5 dư 1, và b² chia 5 dư 1 => c² chia 5 dư 2 (vô lí)
+ Nếu a² chi 5 dư 1, và b² chia 5 dư 4=> c² chia 5 dư 0 => c chia hết cho 5.
+ Nếu a² chi 5 dư 4 và b² chia 5 dư 1 => c² chia 5 dư 0 => c chia hết cho 5.
+ Nếu a² chi 5 dư 4 và b² chia 5 dư 4 => c² chia 5 dư 3 (vô lí).
Vậy ta luôn tìm được một giá trị của a, b, c thỏa mãn abc chia hết cho 5. (***)
Từ (*), (**), (***), mà 3, 4, 5 đôi một nguyên tố cùng nhau => abc chia hết cho 3.4.5 hay abc chia hết cho 60 => abc chia het cho 3
~~~~~~
Chúc bạn học giỏi!
Cho 3 số nguyên dương a,b,c thỏa mãn a^3 + b^3 +c^3 chia hết cho 14. CMR abc cũng chia hết cho 14
Cho 3 số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a3 + b3 + c3 chia hết cho 14
CMR abc cũng chia hết cho 14
Rõ ràng trong hai số a, b, c tồn tại một số chẵn (Vì nếu a, b, c đều lẻ thì a3 + b3 + c3 là số lẻ, không chia hết cho 14).
Ta lại có \(a^3;b^3;c^3\equiv0;1;-1\).
Do đó nếu a, b, c đều không chia hết cho 7 thì \(a^3;b^3;c^3\equiv1;-1\left(mod7\right)\Rightarrow a^3+b^3+c^3⋮̸7\).
Làm tiếp: Suy ra trong ba số a, b, c có ít nhất một số chia hết cho 7 \(\Rightarrow abc⋮7\).
Vậy abc chia hết cho 14.
Cho các số nguyên a,b,c thỏa mãn:\(a^4+b^4+c^4\)là số chính phương.CMR:
a)abc chia hết cho \(25\)
b)abc chia hết cho \(10^2\)
1.Cho bốn số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn ab=cd.Chứng minh rằng \(a^5+b^5+c^5+d^5\)là hợp số.
2.Cho các số tự nhiên a và b.Chứng minh rằng:
a, Nếu\(a^2+b^2\)chia hết cho 3 thì a và b chia hết cho 3.
b, Nếu\(a^2+b^2\)chia hết cho 7 thì a và b chia hết cho 7.
3.Cho các số nguyên a,b,c.Chứng minh rằng:
a, Nếu a+b+c chia hết cho 6 thì \(a^3+b^3+c^3\)chia hết cho 6.
b, Nếu a+b+c chia hết cho 30 thì \(a^5+b^5+c^5\)chia hết cho 30
1. Gọi ƯCLN (a,c) =k, ta có : a=ka1, c=kc1 và (a1,c1)=1
Thay vào ab=cd được ka1b=bc1d nên
a1b=c1d (1)
Ta có: a1b \(⋮\)c1 mà (a1,c1)=1 nên b\(⋮\)c1. Đặt b=c1m ( \(m\in N\)*) , thay vào (1) được a1c1m = c1d nên a1m=d
Do đó: \(a^5+b^5+c^5+d^5=k^5a_1^5+c_1^5m^5+k^5c_1^5+a_1^5m^5\)
\(=k^5\left(a_1^5+c_1^5\right)+m^5\left(a_1^5+c_1^5\right)=\left(a_1^5+c_1^5\right)\left(k^5+m^5\right)\)
Do a1, c1, k, m là các số nguyên dương nên \(a^5+b^5+c^5+d^5\)là hợp số (đpcm)
2. Nhận xét: 1 số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể sư 0 hoặc 1.
Ta có \(a^2+b^2⋮3\). Xét các TH của tổng 2 số dư : 0+0, 0+1,1+1, chỉ có 0+0 \(⋮\)3.
Vậy \(a^2+b^2⋮3\)thì a và b \(⋮3\)
b) Nhận xét: 1 số chính phương khi chia cho 7 chỉ có thể dư 0,1,2,4 (thật vậy, xét a lần lượt bằng 7k, \(7k\pm1,7k\pm2,7k\pm3\)thì a2 chia cho 7 thứ tự dư 0,1,4,2)
Ta có: \(a^2+b^2⋮7\). Xét các TH của tổng 2 số dư : 0+0, 0+1, 0+2, 0+4 , 1+1, 1+2, 2+2, 1+4, 2+4, 4+4; chỉ có 0+0 \(⋮7\). Vậy......
3. a) Xét hiệu \(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮2.3=6\)( tích của 3 số nguyên liên tiếp)
Tương tự: \(b^3-b⋮6\)và \(c^3-c⋮6\)
\(\Rightarrow\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a+b+c\right)⋮6\Rightarrow a^3+b^3+c^3⋮6\Leftrightarrow a+b+c⋮6\)
b) Ta có: \(30=2.3.5\)và 2,3,5 đôi một nguyên tố cùng nhau.
Theo định lý Fermat: \(a^2\equiv a\left(mod2\right)\Rightarrow a^4\equiv a^2\equiv a\left(mod2\right)\Rightarrow a^5\equiv a^2\equiv a\left(mod2\right)\)
\(a^3\equiv a\left(mod3\right)\Rightarrow a^5\equiv a^3\equiv a\left(mod3\right)\)
\(a^5\equiv a\left(mod5\right)\)
Theo tính chất của phép đồng dư, ta có:
\(a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\left(mod2\right)\)
\(a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\left(mod3\right)\)
\(a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\left(mod5\right)\)
Do đó: \(a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\left(mod2.3.5\right)\). Tức là nếu a+b+c chia hết cho 30 thì ....(đpcm)