Tìm GTLN của:
\(A=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}\text{ biết }x,y\ne0\text{ và }\left(x+y+1\right)xy=x^2+y^2\)
\(\text{cho }xy\ne0\text{ và x + y = 1 }\)
\(\text{Chứng minh rằng}:\frac{x}{y^3-1}+\frac{y}{x^3-1}-\frac{2\left(xy-2\right)}{x^2y^2+3}=0\)
(chứng minh rằng\) x y 3 −1 - Online Math
Ta có \(y^3-1=\left(y-1\right)\left(y^2+y+1\right)=-x\left(y^2+y+1\right)\)
(vì \(xy\ne0\Rightarrow x,y\ne0\))
\(\Rightarrow x-1\ne0;y-1\ne0\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y^3-1}=\frac{-1}{y^2+y+1}\)
\(x^3-1=\left(x-1\right)\left(x^2-x+1\right)=-y\left(x^2-x+1\right)\Rightarrow\frac{y}{x^3-1}=\frac{-1}{x^2+x+1}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y^3-1}+\frac{y}{x^3-1}=\frac{-1}{y^2+y+1}+\frac{-1}{x^2+x+1}\)
\(=-\left(\frac{x^2+x+1+y^2+y+1}{\left(x^2+x+1\right)\left(y^2+y+1\right)}\right)=-\left(\frac{\left(x+y\right)^2-2xy+\left(x+y\right)+2}{x^2y^2+\left(x+y\right)^2-2xy+xy\left(x+y\right)+xy+\left(x+y\right)+1}\right)\)
\(=-\frac{4-2xy}{x^2y^2+3}\Rightarrow\frac{x}{y^3-1}+\frac{y}{x^3-1}-\frac{2\left(xy-2\right)}{x^2y^2+3}=0\)
\(\text{Tính }C=\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)x^2y-\left(2-\sqrt{5}\right)xy^2}{x^3+y^3}\text{ với }x,y\ne0\text{ và }\frac{x}{4}=\frac{y}{7}\)
Đặt \(\frac{x}{4}=\frac{y}{7}\) = k => x = 4k; y = 7k ( k khác 0)
Thay vào C ta được: \(C=\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)\left(4k\right)^2.7k-\left(2-\sqrt{5}\right).4k.\left(7k\right)^2}{\left(4k\right)^3+\left(7k\right)^3}=\frac{\left(112.\left(1+\sqrt{3}\right)-196.\left(2-\sqrt{5}\right)\right).k^3}{407k^3}\)
\(C=\frac{112+112\sqrt{3}-392+196\sqrt{5}}{407}=\frac{112\sqrt{3} +196\sqrt{5}-280}{407}\)
Với \(x\ne0\)và \(y\ne0\)Chứng minh rằng
\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2+\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2-\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\)không phụ thuộc vào giá trị của x và y
\(\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2-\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\)
\(=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\left[\left(xy+\frac{1}{xy}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)\right]\)
\(=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\left(xy+\frac{1}{xy}-xy-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}-\frac{1}{xy}\right)\)
\(=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\left(-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)\)
\(=-\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)=-\left(x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\)
\(-\left(x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(=4\)
Vậy giá trị bt ko phụ thuộc vào biến
bn có thể giải thích rõ hơn tại sao lại bằng 4 được không? Dù gì thì cx cảm ơn bn đã tl câu hỏi của mk
Tìm x,y để :
\(A=\left(x-\frac{5}{6}\right)^2+\left(xy-\frac{1}{4}\right)-85\text{đ}\text{ạt}GTLN\)
tìm x,y biết: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{xy}=1\left(x,y\in Z,x\ne0,y\ne0\right)\)
<=> x+y+2=xy
<=> y+2=xy-x
<=> y+2=x(y-1)
<=> x= (y+2)/(y-1)=(y-1+3)/(y-1)= 1+ 3/(y-1)
Vậy, để x nguyên thì y-1 phải là ước của 3
=> y-1={-3; -1; 1; 3}
=> y={-2; 0; 2; 4}
=> x={0; -2; 4; 2}
Do x, y khác 0 nên các cặp x, y thỏa mãn là (4; 2) và (2; 4)
\(\text{Cho x,y là các số thực dương và }x+y\le1\)
a)\(\text{Chứng minh rằng }\frac{x^3+y^3}{2}\ge\left(\frac{x+y}{2}\right)^3\)
b) \(\text{Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức }P=\left(1+x+\frac{1}{x}\right)^3+\left(1+y+\frac{1}{y}\right)^3\)
xét hai số thực thay đổi \(x\ne0,y\ne0\)thỏa mãn \(xy\left(x+y\right)=x^2-xy+y^2.\)tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}\)
giải hpt:1)\(\begin{cases}\text{x+y+xy(2x+y)=5xy }\\\text{x+y+xy(3x-y)=4xy}\end{cases}\)
2)\(\begin{cases}\left(2x+y+1\right)\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{xy}+\sqrt{x}\right)=8\sqrt{x}\\\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{xy}\right)^2+xy=2x\left(6-x\right)\end{cases}\)
3)\(\begin{cases}\sqrt{9x+\frac{y}{x}}+2.\sqrt{y+\frac{2x}{y}}=4\\\left(\frac{2x}{y^2}-1\right)\left(\frac{y}{x^2}-9\right)=18\end{cases}\)
1. \(\begin{cases}x+y+xy\left(2x+y\right)=5xy\\x+y+xy\left(3x-y\right)=4xy\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}2y-x=1\\x+y+xy\left(2x+y\right)=5xy\end{cases}\) (trừ 2 vế cho nhau)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=2y-1\\\left(2y-1\right)+y+\left(2y-1\right)y\left(4y-2+y\right)=5\left(2y-1\right)y\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=2y-1\\10y^3-19y^2+10y-1=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}\)
1/ CMR : \(\frac{2011^3+11^3}{2011^3+2000^3}=\frac{2011+11}{2011+2000}\)
2/ Xét \(A=\left(\frac{a+1}{ab+1}+\frac{ab+a}{ab-1}-1\right):\left(\frac{a+1}{ab+1}-\frac{ab+a}{ab-1}+1\right)\)
a/ rút gọn
b/ tìm GTNN mà A đạt được biết a + b = 4
3/ CMR giá trị biểu thức biểnsau ko phụ thuộc vào giá trị của biến
\(\frac{2}{xy}:\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)^2-\frac{x^2+y^2}{\left(x-y\right)^2}\) khi \(x\ne0;y\ne0;x\ne y\)
\(3,\frac{2}{xy}:\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)^2-\frac{x^2+y^2}{\left(x-y\right)^2}\)
\(=\frac{2}{xy}:\left[\left(\frac{1}{x}\right)^2-2.\frac{1}{x}.\frac{1}{y}+\left(\frac{1}{y}\right)^2\right]-\frac{x^2+y^2}{\left(x-y\right)^2}\)
\(=\frac{2}{xy}:\left[\frac{1}{x^2}-\frac{2}{xy}+\frac{1}{y^2}\right]-\frac{x^2+y^2}{x^2-2xy+y^2}\)
\(=\frac{2}{xy}:\left[\frac{y^2-2.xy+x^2}{x^2y^2}\right]-\frac{x^2+y^2}{\left(x-y\right)^2}\)
\(=\frac{2}{xy}.\frac{x^2y^2}{x^2-2xy+y^2}-\frac{x^2+y^2}{x^2-2xy+y^2}\)
\(=\frac{2xy}{x^2-2xy+y^2}+\frac{-x^2-y^2}{x^2-2xy-y^2}\)
\(=\frac{2xy-x^2-y^2}{x^2-2xy+y^2}=\frac{-\left(x^2-2xy+y^2\right)}{x^2-2xy+y^2}=-1\)
\(\frac{2011^3+11^3}{2011^3+2000^3}\)
\(=\frac{\left(2011+11\right)\left(2011^2-2011.11+11^2\right)}{\left(2011+2000\right)\left(2011^2-2011.2000+2000^2\right)}\)
\(=\frac{\left(2011+11\right)\left[2011^2-11\left(2011-11\right)\right]}{\left(2011+2000\right)\left[2011^2-2000\left(2011-2000\right)\right]}\)
\(=\frac{\left(2011+11\right)\left(2011^2-11.2000\right)}{\left(2011+2000\right)\left(2011^2-2000.11\right)}\)
\(=\frac{2011+11}{2011+2000}\left(2011^2-11.2000\ne0\right)\)
đpcm
\(A=\left(\frac{a+1}{ab+1}+\frac{ab+a}{ab-1}-1\right):\left(\frac{a+1}{ab+1}-\frac{ab+a}{ab-1}+1\right)\)
\(A=\left[\frac{\left(a+1\right)\left(ab-1\right)+\left(ab+a\right)\left(ab+1\right)-\left(ab+1\right)\left(ab-1\right)}{\left(ab+1\right)\left(ab-1\right)}\right]:\left[\frac{\left(a+1\right)\left(ab-1\right)-\left(ab+a\right)\left(ab+1\right)+\left(ab+1\right)\left(ab-1\right)}{\left(ab+1\right)\left(ab-1\right)}\right]\)\(A=\left[\frac{a^2b-a+ab-1+a^2b^2+ab+a^2b+a-a^2b^2+1}{\left(ab+1\right)\left(ab-1\right)}\right]:\left[\frac{a^2b-a+ab-1-a^2b^2-ab-a^2b-a+a^2b^2-1}{\left(ab+1\right)\left(ab-1\right)}\right]\)\(A=\left[\frac{2a^2b+2ab}{\left(ab+1\right)\left(ab-1\right)}\right]:\left[\frac{2a^2b-2a}{\left(ab+1\right)\left(ab-1\right)}\right]\)
\(A=\left[\frac{2ab\left(a+1\right)}{\left(ab+1\right)\left(ab-1\right)}\right]:\left[\frac{2a\left(ab-1\right)}{\left(ab+1\right)\left(ab-1\right)}\right]\)
\(A=\left[\frac{2ab\left(a+1\right)}{\left(ab+1\right)\left(ab-1\right)}\right]:\left[\frac{2a}{\left(ab+1\right)}\right]\left(ab-1\ne0\right)\)
\(A=\frac{b\left(a+1\right)}{ab-1}\left(ab+1\ne0;2a\ne0\right)\)