A = n3 – n (có nhân tử chung n)

= n(n2 – 1) (Xuất hiện HĐT (3))

= n(n – 1)(n + 1)

n – 1; n và n + 1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên

+ Trong đó có ít nhất một số chẵn ⇒ (n – 1).n.(n + 1) ⋮ 2

+ Trong đó có ít nhất một số chia hết cho 3 ⇒ (n – 1).n.(n + 1) ⋮ 3

Vậy A ⋮ 2 và A ⋮ 3 nên A ⋮ 6.

\(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì \(n-1,n,n+1\) là 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2,1 số chia hết cho 3

Mà (2,3)=1\(\Rightarrow\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮2.3=6\)

Bài này giải được 1 tháng VIP đấy, vì đây là câu hỏi của Toán vui hằng tuần

a) Gợi ý: phân tích 50 n + 2   -   50 n + 1 = 245.10. 50 n .

b) Gợi ý: phân tích n 3  - n = n(n - 1)(n +1).

TH1: nếu n là số lẻ=>n+3 là số chẵn(1số lẻ+1số lẻ=1số chẵn)
                                  =>n+3 chia hết cho 2
                                  =>(n+3).(n+6) chia hết cho 2
TH2:nếu n là số chẵn=>n+6 là số chẵn(1 số chẵn+1số chẵn= 1số chẵn)
                                      =>n+6 chia hết cho 2
                                      =>(n+3).(n+6)chia hết cho 2
TH3:nếu n=0=>(n+3).(n+6)=3.6=18chia hết cho 2

chúc bạn học tốt!
                                    

A=n³+n²+2n²+2n

=n²(n+1)+2n(n+1)

=(n+1)(n²+2n)

=n(n+1)(n+2)

Vì tích 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3

=>n(n+1)(n+2) luôn chia hết cho 3 với mọi 

=>A luôn chia hết cho 3 với mọi số nguyên n.

Ta có:

n(n + 1)(n + 2)

= (n² + n)(n + 2)

= n³ + 2n² + n² + 2n

= n³ + 3n² + 2n

Mà n(n + 1)(n + 2) là tích của ba số nguyên liên tiếp (do n là số nguyên)

⇒ n(n + 1)(n + 2) ⋮ 3

⇒ (n³ + 3n² + 2) ⋮ 3

Ta có:

n³ + 11n

= n³ + 3n² + 2n - 3n² + 9n

= (n³ + 3n² + 2n) - 3n(n - 3)

Ta có:

3 ⋮ 3

⇒ 3n(n - 3) ⋮ 3 (với mọi n nguyên)

Mà (n³ + 3n² + 2n) ⋮ 3 (cmt)

⇒ [(n³ + 3n² + 2n) - 3n(n - 3)] ⋮ 3

Vậy (n³ + 11n) ⋮ 3 với mọi số nguyên n