cho các số dương a,b,c,cd thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 3. C/m
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+d^2}+\frac{d}{1+a^2}\ge2\)
Cho các số dương a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a^2+b^2=1 và \(\frac{a^4}{b}+\frac{c^4}{d}=\frac{1}{b+d}\)
CMR \(\frac{a^{2006}}{b^{1003}}+\frac{c^{2006}}{d^{1003}}=\frac{2}{\left(b+d\right)^{1003}}\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3. CMR:
\(\frac{1}{2+a^2b}+\frac{1}{2+b^2c}+\frac{1}{2+c^2a}\ge1\)
2.Cho a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh: \(\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{1}{a^2+b^2}\le\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+3\) 1. Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh \(\frac{a}{1+b-a}+\frac{b}{1+c-b}+\frac{c}{1+a-c}\ge1\)
\(sigma\frac{a}{1+b-a}=sigma\frac{a^2}{a+ab-a^2}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{b^2+c^2}=\frac{1}{1-a^2}=1+\frac{a^2}{b^2+c^2}\le1+\frac{a^2}{2bc}\)
Tương tự cộng lại quy đồng ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau
a) \(A=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{2c}}\) trong đó a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện c là trung bình nhân của 2 số là a,b
b) \(B=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}}\)trong đó a,b,c,d là các số dương thỏa mãn điều kiện ab=cd và a+b khác c+d
cho các số a,b,c dương thỏa mãn điều kiện a+b+c=3 chứng minh \(\frac{1}{2+a^2b}+\frac{1}{2+b^2c}+\frac{1}{2+c^2a.}>=1\)
\(\frac{1}{2+a^2b}+\frac{1}{2+b^2c}+\frac{1}{2+c^2a}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{2+a^2b}+\frac{2}{2+b^2c}+\frac{2}{2+c^2a}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2b}{2+a^2b}+\frac{b^2c}{2+b^2c}+\frac{c^2a}{2+c^2a}\le3\)
\(\frac{a^2b}{2+a^2b}\le\frac{a^2b}{3\sqrt[3]{a^2b}}=\frac{\sqrt[3]{a^4b^2}}{3}=\frac{a\sqrt[3]{ab^2}}{3}\)
Tương tự thì ta cần chứng minh \(a\sqrt[3]{ab^2}+b\sqrt[3]{bc^2}+c\sqrt[3]{ca^2}\le6\)
Oke phần còn lại dành cho bạn ;D
Khúc cuối nhầm kìa bác Coolkid
\(a\sqrt[3]{ab^2}+b\sqrt[3]{bc^2}+c\sqrt[3]{ca^3}\le3\)
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện: a+b+c+ab+bc+ca=6abc.
Tìm GTNN của M=\(\frac{1}{a^{a^2}}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. CMR:
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\frac{1}{a^2}=\frac{1}{\left(bc\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+1=\frac{1}{\left(bc\right)^2}+1\ge2\frac{1}{bc}=2a\)
Bạn Hoàng sai rồi nhé:
cho \(a=\frac{3}{2};b=2;c=\frac{1}{3}\) (t/m đk abc=1)
Suy ra \(a+b+c=\frac{3}{2}+2+\frac{1}{3}=3,8\left(3\right)>3\) nhé
Vì abc = 1 nên ta viết bất đẳng đẳng lại thành:\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{3}{abc}\ge2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\). Khi đó ta cần chứng minh \(a^2+b^2+c^2+3abc\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)với abc = 1
Theo nguyên lí Dirichlet thì trong ba số a - 1; b - 1; c - 1 tồn tại ít nhất hai số cùng dấu. Giả sử hai số đó là a - 1 và b - 1 thì \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Leftrightarrow ab\ge a+b-1\Leftrightarrow abc\ge ac+bc-c\)
Khi đó \(a^2+b^2+c^2+3abc\ge a^2+b^2+c^2+3\left(ac+bc-c\right)\)nên phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được rằng \(a^2+b^2+c^2+3\left(ac+bc-c\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+c\left(a+b+c-3\right)\ge0\)(Luôn đúng vì theo AM - GM cho 3 số dương thì \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\))
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Cho a,b,c,d là các số dương thỏa mãn \(a^2+b^2=1\)và \(\frac{a^4}{c}+\frac{b^4}{d}=\frac{1}{c+d}\)
CMR: \(\frac{a^2}{c}+\frac{d}{b^2}\ge2\)
Các bác giải hộ cái, e đang cần gấp
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện \(a+b+c\le\frac{3}{2}\).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
tích mình đi
làm ơn
rùi mình
tích lại
thanks
Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta có :\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(\sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}.\frac{1}{\sqrt{b}}+\sqrt{c}.\frac{1}{\sqrt{c}}\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(1+1+1\right)^2=9\)
.Dấu "=" xảy ra khi :\(\frac{a}{\frac{1}{a}}=\frac{b}{\frac{1}{b}}=\frac{c}{\frac{1}{c}}\Leftrightarrow a^2=b^2=c^2\Leftrightarrow a=b=c\)
Mà \(a+b+c\le\frac{3}{2}\)\(\Rightarrow M=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9:\frac{3}{2}=9.\frac{2}{3}=6\)
Vậy Min M = 6 <=> a = b = c