a) Tứ giác AKHI có 4 góc vuông nên nó là hình chữ nhật, có IK và AH là hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Vậy IK đi qua trung điểm của AH.
b) Tam giác vuông có KN là trung tuyến nên KN = 1/2HC = HN. Vậy tam giác NKH cân
Suy ra: góc KHN = góc HKN (1)
Tam giác OHK cân vì OH = OK.
Suy ra: góc OHK = góc OKH (2)
Mà góc OHK + góc KHN = 1 vuông (3)
Từ (1), (2), (3) Suy ra OKH + góc HKN = góc OKN = 1 vuông. Vậy NK vuông góc với KI (4)
Chứng minh tương tự: MI vuông góc với KI (5)
Từ (4) và (5) Suy ra MI // NK
Vậy tứ giác MNKI là hình thang vuông.
Khi MNKI là hình chữ nhật thì góc KNC = 1v Suy ra góc NCK = 45 độ. Vậy tam giác ABC vuông cân thì MNKI là hình chữ nhật.
c) AL // KN ( cặp góc đồng vị LAC và NKC bằng nhau vì cùng bằng góc C)
Mà NK vuông góc với IK ( câu b)
Suy ra AL vuông góc với IK

đáp án 0,75

Tham khảo

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-tam-giac-abc-nhon-noi-tiep-duong-tron-o-tren-canh-bc-lay-diem-d-sao-cho-abc-cad-k-la-duong-tron-noi-tiep-tam-giac-adc-e-la-chan-duong-p.205346682394

a) Xét tứ giác AEHD có \(\widehat{A}=\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=90^0\)

=> tứ giác AEHD là HCN

=> AH = DE 

b) Gọi O là giao điểm của AM và DE

Xét t/giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến

=> AM = BM = CM = 1/2BC
=> t/giác AMC cân tại M => \(\widehat{A1}=\widehat{C}\) (1)

Ta có: \(\widehat{C}+\widehat{H2}=90^0\)(phụ nhau)

      \(\widehat{H1}+\widehat{H2}=90^0\)(phụ nhau)

=> \(\widehat{C}=\widehat{H1}\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{H1}=\widehat{A1}\)

Do AEHD là HCN => \(\widehat{OEA}=\widehat{HAE}\)

Ta có: \(\widehat{A1}+\)\(\widehat{E1}+\widehat{A}1=\widehat{H1}+\widehat{HAE}=90^0\)

=> t/giác AOE vuông => \(\widehat{AOE}=90^0\) => AM vuông góc với DE

c) Ta có: SABM = AH. BM/2

     SAMC = AH. MC/2

Mà BM = MC => SABM = SAMC

Ta có: SABC = SABM + SAHC = 2S.AMC 

a) Xét ΔABC có BD là đường phân giác ứng với cạnh AC(Gt)

nên \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{CD}{CB}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AB}{3}=\dfrac{BC}{5}\)

Ta có: AD+CD=AC(D nằm giữa A và C)

nên AC=3+5=8(cm)

Đặt \(\dfrac{AB}{3}=\dfrac{BC}{5}=k\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=3k\\BC=5k\end{matrix}\right.\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow\left(3k\right)^2+8^2=\left(5k\right)^2\)

\(\Leftrightarrow9k^2+64=25k^2\)

\(\Leftrightarrow16k^2=64\)

\(\Leftrightarrow k^2=4\)

hay k=2

Suy ra: \(\left\{{}\begin{matrix}AB=3\cdot k=3\cdot2=6\left(cm\right)\\BC=5\cdot k=5\cdot2=10\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: AB=6cm; BC=10cm

a: Xét ΔHAB có HI/HA=HK/HB

nên IK//AB

=>IK vuông góc AC

b: Xét ΔCAK có

KI,AH là đường cao

KI cắt AH tại I

=>I là trực tâm

=>AK vuông góc CI