Chia một góc thành nhiều phần bằng nhau bằng thước thẳng và compa

 *   *   *

Kết quả nghiên cứu nầy gồm 3 phần:

Phần 1 – Chia ba một góc cho sẵn bằng thước thẳng và compa
Phần 2 – Vẽ một đa giác đều có n cạnh bằng thước thẳng và compa
Phần 3 – Chia một góc thành nhiều phần bằng nhau.
Hệ luận Thuận Hoà (hay Thuanhoa’s corollary)

        ____________________

Phần 1 – Chia ba một góc cho sẵn bằng thước thẳng
và compa

(Phần này là tiền đề cho Phần 3.  Thuận Hoà chỉ trình bày lại những kết quả đã biết và phổ biến trong nhiều sách và Internet.)

“Chia một góc cho sẵn thành 3 phần bằng nhau” là một trong 3 bài toán trong hình học phẳng Euclide “không giải được” từ thời các nhà toán học cổ Hy lạp. Thật ra, phải nói rõ ra là “không vẽ được bằng compa và thước thẳng không chia độ” mới đúng. Thước thẳng không chia độ là thước chỉ dùng để gạch đường thẳng nối 2 điểm hay qua một điểm và thẳng góc với một đường thẳng khác mà thôi. Hai bài toán khác là:  (i) Vẽ một hình vuông có diện tích bằng diện tích của một vòng tròn cho sẵn và (ii) Vẽ một hình lập phương có thể tích gắp đôi thể tích của một hình lập phương cho sẵn.

Thật ra, không phải tất cả mọi góc đều không thể chia 3 đuợc bằng phép vẽ chỉ dùng compas và thước thẳng.

Ta biết rằng 1/3 của góc 60^o là 20^o, nhưng chia một góc 60^o làm 3 phần không thể thực hiện được chỉ bằng compa và thước thẳng.  Lý do là vì chia một góc 60^o làm 3 phần tương đương với giải một phương trình bậc 3 có nghiệm số không hửu tỉ. Điều đó có thể thấy được qua một hệ thức lượng giác là cos(3θ) = 4cos³(θ) − 3cos(θ).

Nếu 3θ = 60^o thì  cos(3θ) = 1/2. Chia góc 3θ = 60^o  làm 3 phần tương đương với tìm một góc θ  thoả phương trình:

4cos³(θ) − 3cos(θ) = 1/2

hay      8x³  – 6x – 1 = 0     nếu đặt  x =  cos(θ)
hay, đặt  y = 2x
y³ – 3y – 1 = 0            (1)

Phương trình (1) không có nghiệm hửu tỉ. Thật vậy, nếu (1) có một nghiệm hửu tỉ  r/s với  r và s là 2 số nguyên không có thừa số chung, thì thay y = r/s vào (1) và rút gọn:

= >  s³ = r(r² -3s²)  chia đúng cho r   => s và r có thừa số chung. trừ khi r = ± 1.
= >  r³ = s²(s + 3r) chia đúng co s²   => s và r có thừa số chung, trừ khi  s = ± 1.

Vì  r và s được giả thiết là không có thừa số chung, nên trường hợp nầy chỉ chấp nhận được khi
r = ± 1 và s = ± 1 và  nghiệm số hửu tỉ của phương trình (1) chỉ có thể là +1 hay -1. Mà cà +1 và -1 dều không nghiệm đúng (1).

Tóm lại: phương trình (1) không có nghiệm hửu tỉ. Điều đó chứng tỏ rằng không vẽ được một góc 20^o từ một góc 60^o cho sẵn bằng compa và thước thẳng.

Chia ba một góc cho sẵn thường không thhể được với compa và thước thẳng. Thước thẳng nầy chỉ có nhiệm vụ duy nhất là để kẻ đường thẳng mà thôi.

Tuy nhiên, với một thước thẳng có chia độ, được hiểu là thước có thể dùng để đo khoảng cách của 2 điểm, thì bài toán chia ba một góc cho sẵn có thể giải được như dưới đây.

Ta có:  BA = BC = CD
=> Hai tam giác BAC và BCD cân lần lượt ở B và C.
Gọi b là 2 góc đáy của tam giác BCD và c là 2 góc đáy của tam giác BAC.

=>  Góc CBD = CDB = b  và  Góc BCA = BAC = c
=>  Góc BCA = CBD + CDB  => c = 2b      (Góc ngoài tam giác)

Gọi d là góc ở đỉnh của tam giác cân BAC
=>  Góc ABC = d = 180^o – 2c = 180^o – 4b   vì  c = 2b

Tổng số các góc ở đỉnh B bằng 180^o:
= >       a + d  + b = 180^o
= >       a + (180^o – 4b) + b = 180^o  =>  b = a/3

Như vậy là ta đã vẽ được một góc bằng 1/3 một góc cho sẵn.

moi hok lop 6

Dựng 1 tia có đầu mút là 1 đầu bất kì của đoạn thẳng đã cho.

Dùng compa xác định 3 đoạn thẳng bằng nhau liên tiếp trên tia vừa vẽ, bắt đầu từ điểm gốc của tia.

Nối điểm cuối của đoạn thẳng cuối với điểm còn lại của đoạn thẳng đã cho.

Dựng các đường thẳng đi qua các điểm đã xác định trên tia và song song với đoạn thẳng vừa mới dựng 

-Đo độ dài đoạn thẳng đó rồi lấy số đo chia cho 3 (tương ứng với 3 phần)

-Lấy thước đo đặt vào đoạn thẳng rồi chia vạch như trên là xong

Mình nghĩ vậy không biết có đúng không

- Đo đoạn thẳng->chia 3->ok

-Đo góc->chia 3->ok

Lời giải:
a. Bán kính miếng bìa: $13,5:2=6,75$ (dm) 

Diện tích miếng bìa: $6,75\times 6,75\times 3,14=143,06625$ (dm²)

b. 

Để chia miếng bìa ra thành 3 phần. Bạn Thái vẽ bán kính của hình tròn là đoạn thẳng mốc, dùng compa đo từ đoạn thẳng mốc đó 1 khoảng $120^0$ rồi đánh dấu. Từ đoạn đánh dấu đo tiếp 1 khoảng $120^0$ nữa và đánh dấu. Ta được 3 phần hình cánh quạt bằng nhau, mỗi phần chiếm 1 góc bằng $120^0$.

bà tên Dung à ???????????/

Việc chia ba một góc thì sao? Tại sao nó lại khó? Có một số trường hợp tam giác đặc biệt có thể làm được, ví dụ như góc π/2 (90 độ). Đối với trường hợp tổng quát, người Hy Lạp vẫn không thể nghĩ ra được cách làm mặc nhiều đã mất rất nhiều công sức để giải quyết vấn đề này.
 

Chia ba một góc tùy ý có thể thực hiện được nếu như bạn "ăn gian" bằng cách sử dụng thước đo thay vì một cạnh thẳng đơn giản (bạn có thể tiềm hiểu cách làm trong trang hỏi đáp sci.math), hoặc ngay cả khi bạn chỉ cần vẽ hai điểm nhỏ trên cạnh thẳng của bạn. Tuy nhiên để "chơi đúng luật", bạn không được để bất kì dấu vết nào trên cạnh thẳng - nó phải hoàn toàn trống.

Vấn đề liệu việc chia góc làm ba phần bằng nhau có thể được thực hiện trong trường hợp tổng quát hay không vẫn là một bí ẩn toán học trong hàng thiên niên kỉ - vào năm 1837 điều đó được chứng minh là không thể bởi Pierre Wantzel, một nhà toán học người Pháp và chuyên gia về số học. Đây là một thành tựu tuyệt vời đôi với một người đàn ông 23 tuổi, người mà sau đó qua đời khi còn rất trẻ ở tuổi 33.

Vậy tại sao lại không thể? Pierre cho thấy rằng hai vấn đề chia một góc làm ba phần bằng nhau và giải quyết một phương trình bậc ba là như nhau. Hơn nữa, ông cho thấy rằng chỉ có một số ít phương trình bậc ba có thể giải quyết được bằng phương pháp cạnh thẳng - com-pa, hầu hết đều không thể. Do đó ông đã suy luận rằng hầu hết các góc đều không thể chia làm ba được.

Tuy nhiên, việc chia ba một góc một cách gần đúng được mô tả bởi Steinhaus trong cuốn Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999. (trước đó nó được môt tả bởi Wazewski 1945; và Peterson, G. "Approximation to an Angle Trisection." Two-Year Coll. Math. J. 14, 166-167, 1983.). 

Vẽ tam giác ABC Lấy BC ở phía trên đáy dưới là AC cho dễ vẽ. Nối MA từ B kẻ BE song song với MA cắt CA kéo dài tại E. Ta có BEAM là hình thang. vậy S(MAE)= S(BAM) (vì chung đáy MA và chung chiều cao là hình thang) Vậy S(MAC)+ S(MAE)= S(MCA)+S(EAM) Hay S(MEC)= S(ABC) Xác ddingj trung điểm N của EC . Nối MN ta được đường thẳng cần kẻ. Bài toán đã giải xong. Mình không vẽ hình bạn đọc tự vẽ nhé.

Vẽ tam giác ABC Lấy BC ở phía trên đáy dưới là AC cho dễ vẽ.
Nối MA từ B kẻ BE song song với MA cắt CA kéo dài tại E.
Ta có BEAM là hình thang. vậy S(MAE)= S(BAM) (vì chung đáy MA và chung chiều cao là hình thang)
Vậy S(MAC)+ S(MAE)= S(MCA)+S(EAM)
Hay S(MEC)= S(ABC)
Xác ddingj trung điểm N của EC . Nối MN ta được đường thẳng cần kẻ. 
Bài toán đã giải xong. Mình không vẽ hình bạn đọc tự vẽ nhé.