a: Xét ΔABD và ΔBDC có 

\(\widehat{ABD}=\widehat{BDC}\)

\(\widehat{A}=\widehat{DBC}\)

Do đó: ΔABD\(\sim\)ΔBDC

b: Ta có: ΔABD\(\sim\)ΔBDC

nên \(\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AD}{BC}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{5}{DC}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{3.5}{BC}\)

=>DC=10; BC=7

c: Ta có: ΔABD\(\sim\)ΔBDC

nên \(\dfrac{S_{ABD}}{S_{BDC}}=\left(\dfrac{AB}{BD}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)

b) Theo Thales: \(\dfrac{DE}{DC}=\dfrac{AO}{AC};\dfrac{CF}{CD}=\dfrac{BO}{BD}\)

Theo câu a thì \(\dfrac{AO}{AC}=\dfrac{BO}{BD}\) \(\Rightarrow\dfrac{DE}{DC}=\dfrac{CF}{CD}\Rightarrow DE=CF\) (đpcm)

c) Từ \(DE=CF\Rightarrow\dfrac{DE}{EF}=\dfrac{CF}{EF}\)

Mà theo Thales: \(\dfrac{DE}{EF}=\dfrac{IO}{OF};\dfrac{CF}{EF}=\dfrac{JO}{OE}\) 

Do đó \(\dfrac{IO}{OF}=\dfrac{JO}{OE}\) \(\Rightarrow\) IJ//CD//AB

d) Dùng định lý Menelaus đảo nhé bạn. Ta có \(\dfrac{HA}{HD}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{OA}{OC}\) nê \(\dfrac{HA}{AD}.\dfrac{OC}{OA}=1\). Do K là trung điểm EF mà \(DE=CF\) nên K cũng là trung điểm CD hay \(\dfrac{KD}{KC}=1\). Do đó \(\dfrac{HA}{AD}.\dfrac{KD}{KC}.\dfrac{OC}{OA}=1\). Theo định lý Menalaus đảo \(\Rightarrow\)H, O, K thẳng hàng (đpcm)

a: Xét ΔABD vuông tại B và ΔACD vuông tại C có

AD chung

AB=AC

Do đó: ΔABD=ΔACD
b: Ta có: ΔABD=ΔACD

=>DB=DC

=>ΔDBC cân tại D

Xét tứ giác ABDC có \(\widehat{ABD}+\widehat{ACD}+\widehat{BAC}+\widehat{BDC}=360^0\)

=>\(\widehat{BDC}+120^0+90^0+90^0=360^0\)

=>\(\widehat{BDC}=60^0\)

Xét ΔDBC cân tại D có \(\widehat{BDC}=60^0\)

nên ΔDBC đều

a: Xét ΔOAD và ΔOMK có

\(\widehat{OAD}=\widehat{OMK}\)(hai góc so le trong, AD//MK)

\(\widehat{AOD}=\widehat{MOK}\)

Do đó: ΔOAD đồng dạng với ΔOMK

=>\(\dfrac{OA}{OM}=\dfrac{OD}{OK}\)

=>\(OA\cdot OK=OM\cdot OD\)

b: Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{CA}\)

=>\(\dfrac{BD}{5}=\dfrac{CD}{10}\)

=>\(\dfrac{BD}{1}=\dfrac{CD}{2}\)

mà BD+CD=BC=12

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{BD}{1}=\dfrac{CD}{2}=\dfrac{BD+CD}{1+2}=\dfrac{12}{3}=4\)

=>\(BD=4\left(cm\right);CD=8\left(cm\right)\)

c: ME//AD

=>\(\widehat{AEK}=\widehat{DAC}\)(hai góc so le trong)(1)

KM//AD

=>\(\widehat{AKE}=\widehat{BAD}\)(hai góc đồng vị)(2)

AD là phân giác của góc BAC

=>\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\widehat{AEK}=\widehat{AKE}\)

=>AE=AK

Xét ΔCAD có EM//AD

nên \(\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{CM}{CD}\)

=>\(\dfrac{CE}{CM}=\dfrac{CA}{CD}\)

mà \(\dfrac{CA}{CD}=\dfrac{BA}{BD}\)

nên \(\dfrac{CE}{CM}=\dfrac{BA}{BD}\)

=>\(\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{EC}{CM}\)

=>\(\dfrac{AB}{EC}=\dfrac{BD}{CM}\)(ĐPCM)