\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}\ge2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\)

mặt khác \(x>y\Rightarrow x-y>0\)

áp dụng BĐT CÔ-SI CHO hai số dương ta được \(\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right)\frac{2}{x-y}}\ge2\sqrt{2}\)

dấu''='' xảy ra khi và chỉ khi \(\left(x-y\right)=\frac{2}{x-y}\)

Trường hợp dấu băng xảy ra chưa rỗ, còn cần phải giải thêm

\(x>y\Rightarrow x-y>0\)

\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+2xy}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2}{x-y}=x-y+\frac{2}{x-y}\)

Áp dụng BĐT cô-si, ta có:

\(\left(x-y\right)+\frac{2}{x-2}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{2}{\left(x-y\right)}}=2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\)

=> ĐPCM

Ta có: \(x+\left(y+1\right)\ge2.\sqrt{x.\left(y+1\right)}=2.\sqrt{xy+x}\)

\(y+\left(x+1\right)\ge2.\sqrt{y.\left(x+1\right)}=2.\sqrt{xy+y}\)

\(1+\left(x+y\right)\ge2.\sqrt{x+y}\)

Ta có: \(\sqrt{\frac{x}{y+1}}+\sqrt{\frac{y}{x+1}}+\sqrt{\frac{1}{x+y}}\)

\(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y+1}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x+1}}+\frac{1}{\sqrt{x+y}}\)

\(=\frac{x}{\sqrt{yx+x}}+\frac{y}{\sqrt{xy+y}}+\frac{1}{\sqrt{x+y}}\)

\(=\frac{2x}{2\sqrt{yx+x}}+\frac{2y}{2\sqrt{xy+y}}+\frac{2}{2\sqrt{x+y}}\)

\(\ge\frac{2x}{x+y+1}+\frac{2y}{x+y+1}+\frac{21}{x+y+1}=\frac{2\left(x+y+1\right)}{x+y+1}=2\)

                                                                                        đpcm

Tham khảo nhé~

1/ Sửa đề:   \(x+y+z=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

\(\Leftrightarrow\)   \(\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)-2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)   \(\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)+\left(y-2\sqrt{yz}+z\right)+\left(z-2\sqrt{zx}+x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)   \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\)

Với mọi x, y, z ta luôn có:   \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0;\)   \(\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\ge0;\)   \(\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0;\)

\(\Rightarrow\)   \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\)

Do đó dấu "=" xảy ra    \(\Leftrightarrow\)    \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=0\\\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2=0\\\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\end{cases}}\)   \(\Leftrightarrow\)    \(\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}}\)    \(\Leftrightarrow\)    x = y = z

3/ Đây là BĐT Cô-si cho 2 số dương a và b, ta biến đổi tương đương để chứng minh

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\left(a+b\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}\right)^2\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\)   \(a^2+b^2+2ab-4ab\ge0\)    \(\Leftrightarrow\)    \(a^2-2ab+b^2\ge0\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

2/ Vì x > y và xy = 1 áp dụng BĐT Cô-si ta được:

\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{1}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{1}{x-y}}=2\)

Đẳng thức xảy ra   \(\Leftrightarrow\)   \(\hept{\begin{cases}x>y\\xy=1\\x-y=\frac{1}{x-y}\end{cases}}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)

1)đề thiếu

2)\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+2xy}{x-y}\)\(=\frac{\left(x-y\right)^2+2}{x-y}=x-y+\frac{2}{x-y}\)

\(x>y\Rightarrow x-y>0\).Áp dụng Bđt Côsi ta có:

\(\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right)\cdot\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}\)

Đpcm

3)\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)

Đpcm

P OI cai nay dung bat dang thuc co si do

k biết làm mà!! )))

\(\sqrt{x\left(y+z\right)}\le\frac{x+y+z}{2}\)( Cauchy)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{x}{y+z}}=\frac{x}{\sqrt{x\left(y+z\right)}}\le\frac{x}{\frac{x+y+z}{2}}=\frac{2x}{x+y+z}\)

Chứng minh tương tự:

\(\sqrt{\frac{y}{x+z}}\le\frac{2y}{x+y+z};\sqrt{\frac{z}{x+y}}\le\frac{2z}{x+y+z}\)

Cộng theo vế suy ra đocn. Dấu "=" ko xảy ra

Thay giá trị x = y = z vô thì thấy VT > 2 nên nghi ngờ đề sai. B xem lại

Ta có : \(x>y\Rightarrow x-y>0\)

\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+2xy}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=x-y+\frac{2}{x-y}\)

Áp dụng BĐT Cô - si ta được :

\(x-y+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{2}{x-y}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\)

Chúc bạn học tốt !!!

\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}\)

\(=x-y+\frac{2xy}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{2xy}{x-y}}\)(BĐT Cauchy)

\(=2\sqrt{2}\)(Vì xy  =1)