Câu 4(3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi M là giao điểm của EF và BC. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AM tại P và AD tại Q.
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.
b) Chứng minh DFC = EFC.
c) Chứng minh BP = BQ.
a: góc AEH+góc AFH=180 độ
=>AEHF nội tiếp
b: góc DFC=góc EBC
góc EFC=góc DAC
góc EBC=góc DAC
=>góc DFC=góc EFC
Cho BC là dây cung cố định trên đường tròn (O), (BC không là đường
kính), A là điểm di động trên cung lớn BC, (A không trùng B, C). Gọi AD, BE, CF là các
đường cao của tam giác ABC; EF cắt BC tại P. Qua điểm D vẽ đường thẳng song song với
EF cắt AC tại Q và cắt AB tại R.
a) Chứng minh tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi M là trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng hai tam giác EPM và DEM là hai
tam giác đồng dạng.
c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định.
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) .Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. Gọi K là giao điểm của 2 đường thẳng BC,EF. Đường thẳng đi qua F song song với AC cắt AK,AD tại M,N .Chứng minh MF=NF
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) .Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. Gọi K là giao điểm của 2 đường thẳng BC,EF. Đường thẳng đi qua F song song với AC cắt AK,AD tại M,N .Chứng minh MF=NF
Gọi G là giao điểm của FC và AK.
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác FBC với cát tuyến A, G, K ta có:
\(\dfrac{AF}{AB}.\dfrac{KB}{KC}.\dfrac{GC}{GF}=1\Rightarrow\dfrac{GC}{GF}=\dfrac{KC}{KB}.\dfrac{AB}{AF}\). (1)
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ACB với cát tuyến K, E, F ta có:
\(\dfrac{EA}{EC}.\dfrac{KC}{KB}.\dfrac{FB}{FA}=1\Rightarrow\dfrac{KC}{KB}=\dfrac{FA}{FB}.\dfrac{EC}{EA}\). (2)
Từ (1), (2) có \(\dfrac{GC}{GF}=\dfrac{EC}{EA}.\dfrac{AB}{FB}\). (*)
Mặt khác áp dụng định lý Menelaus cho tam giác AFC với cát tuyến B, H, E ta có:
\(\dfrac{HC}{HF}.\dfrac{BF}{BA}.\dfrac{EA}{EC}=1\Rightarrow\dfrac{HC}{HF}=\dfrac{AB}{FB}.\dfrac{EC}{EA}\). (**)
Từ (*), (**) ta có \(\dfrac{GC}{GF}=\dfrac{HC}{HF}\Rightarrow\dfrac{AC}{MF}=\dfrac{AC}{NF}\Rightarrow FM=FN\).
(Hà Nội - 2019)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE và CF của tam giác cắt nhau tại điểm H.
a) Chứng minh bốn điểm B, C, E,F cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh OA $\bot$ EF.
c) Gọi K là trung điểm của BC. Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại điểm I, đường thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P. Chứng minh tam giác APE đồng dạng với tam giác AIB và đường thẳng KH song song với đường thẳng IP.
a) Do BE và CF là các đường cao trong tam giác ABC nên ˆBEC=90∘, ˆBFC=90∘
Tứ giác BCEF có góc E và góc F cùng nhìn cạnh BC và bằng nhau (cùng bằng 90∘) nên là tứ giác nội tiếp.
b) Tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp nên ˆAFE=ˆACB, mà ˆACB=ˆASB (cùng chắn cung AB) nên ˆAFE=ˆASB
Suy ra tứ giác BFMS là tứ giác nội tiếp.
Do đó ˆFMS=180∘−ˆFBS=90∘.. Vậy OA ⊥⊥ EF.
c)
+) Tứ giác BCEF nội tiếp nên ˆAEF=ˆABC (1)
Từ OA ⊥ PE suy ra ˆAIB=ˆAPE(cùng phụ với ˆMAP). (2)
Từ (1) và (2) suy ra ΔAPE∽ΔABI (g.g).
+) Tứ giác BHCS có BH // CS (cùng vuông góc với AS) và BS // CH (cùng vuông góc với AB) nên là hình bình hành. Do đó ba điểm H, K, S thẳng hàng.
Ta sẽ chứng minh hai góc đồng vị ˆPIM và HSM^ bằng nhau.
Tứ giác PDIM nội tiếp (vì có hai góc vuông M và D đối nhau) nên ˆPIM=ˆPDM (3)
Ta có:
ΔAHE∽ΔACDΔ nên AH.AD = AE.AC.
ΔAME∽ΔACSnên AM.AS = AE.AC.
Suy ra AH.AD = AM.AS ⇒AH/AM=AS/AD.
Do đó ΔMAH∽ΔDAS(c.g.c). Suy ra AHM^=ASD^.
Từ đó ta có tứ giác DHMS là tứ giác nội tiếp. Suy ra ˆHDM=ˆHSM. (4)
Từ (3) và (4) suy ra HS // PI, hay KH // PI.
Cho tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF. Đường thẳng qua D và song song với EF cắt AC và AB tại Q và R. Đường thẳng EF cắt BC tại P. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC.
Cho đường tròn tâm O có BC là dây cung cố định nhỏ hơn đường kính, A là điểm di động trên cung lớn BC . Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC, EF cắt BC tại M, qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AB tại P, cắt AC tại Q.
C/m góc BPQ= góc BCQ.
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H
a) Chứng minh rằng tứ giác CDHE, BCEF nội tiếp
b) Hai đường thẳng EF và BC cắt nhau tại M. Chứng minh MB.MC = ME.MF
c) Đường thẳng qua B song song với AC cắt AM, AH ần lượt tại I,K . Chứng minh HB là phân giác của IHK
a/
Ta có D và E cùng nhìn HC dưới 1 góc vuông nên D và E thuộc đường tròn đường kính HC => CDHE là tứ giác nội tiếp
Ta có E và F cùng nhìn BC dưới 1 góc vuông nên E và F thuộc đường tròn đường kính BC => BCEF là tứ giác nội tiếp
b/ Xét tg MEB và tg MCF có
\(\widehat{EMC}\) chung
\(\widehat{MEB}=\widehat{MCF}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
=> tg MEB đồng dạng với tg MCF (g.g.g)
\(\Rightarrow\dfrac{ME}{MC}=\dfrac{MB}{MF}\Rightarrow MB.MC=ME.MF\)
