Gọi UCLN của 10n+9 và 15n+14 là d
Ta có
\(10n+9⋮d;15n+15⋮d\)
\(\Rightarrow2\left(15n+14\right)-3\left(10n+9\right)=\left(30n+28\right)-\left(30n+27\right)=1⋮d\)
Vậy d=1 nên 10n+9 và 15n+14 nguyên tố cùng nhau
\(\Rightarrow\frac{10n+9}{15n+14}\)là phân số tối giản

Gọi d là ƯCLN(15n+1,3n+1)

Hay 15n+1 chia hết cho d, 3n+1 chia hết cho d

Hay (15n+1-3n+1) chia hết cho d

Hay 12 chia hết cho d

Hay d thuộc ước của 12

Ư(12)={1;2;3;4;6;12}

Mà khi d=1 thì phân số trên sẽ không cùng chia hết cho một số bất kì nào nữa có nghĩa là khi đó d mới là phân số tối giản.

Mà d ở phân số trên có nhiều hơn 1 ước nên phân số trên không là phân số tối giản.

Ví dụ: nếu d=5 thì 15.5+1/3.5+1=76/16=19/4 chưa là phân số tối giản.

Kết luận:đề bài sai.

tk mình nha, mình rõ nhất

có j thắc mắc ib mk nhé

Gọi d là ƯCLN của 10n + 1 và 15n + 2 ( d \(\in\)N* ) 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}10n+1⋮d\\15n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(10n+1\right)⋮d\\2\left(15n+2\right)⋮d\end{cases}}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}30n+3⋮d\\30n+4⋮d\end{cases}\Rightarrow\left(30n+4\right)-\left(30n+3\right)⋮d}\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy \(\frac{10n+1}{15n+2}\)là p/s tối giải.

Gọi ƯCLN(n-5;3n-14) là d, Ta có :

 n-5 =3n-15 chia hết cho d ; 3n-14 chia hết cho d      

=>(n-5)-(3n-14)=1 chia hết cho d

=>d=1 hoặc -1 =>n-5 và 3n-14 là psố tối giản

k cho min nha !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Gọi d là ƯC(n - 5 ; 3n - 14)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n-5⋮d\\3n-14⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(n-5\right)⋮d\\3n-14⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3n-15⋮d\\3n-14⋮d\end{cases}}}\)

=> ( 3n - 15 ) - ( 3n - 14 ) chia hết cho d 

=> 3n - 15 - 3n + 14 chia hết cho d

=> ( 3n - 3n ) + ( 14 - 15 ) chia hết cho d

=> 0 + ( -1 ) chia hết cho d

=> -1 chia hết cho d

=> d = 1 hoặc d = -1

=> ƯCLN(n - 5 ; 3n -14) = 1

=> \(\frac{n-5}{3n-14}\)tối giản ( đpcm )

Giả sử \(x=\frac{2m+9}{14m+62}\) là p/s tối giản

X là p/s tối giản <=> 2m+9 và 14m+62 nguyên tố cùng nhau <=>2m+9 và 14m+62 có ƯCLN=1

Gọi d là ƯCLN(2m+9;14m+62)

Ta có:  2m+9 chia hết cho d => 7(2m+9) chia hết cho d=>14m+63 chia hết cho d (1)

          14m+62 chia hết cho d (2)

Lấy (1)-(2),vế theo vế:

14m+63-(14m+62) chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

Vậy ƯCLN(2m+9;14m+62) là 1 hay 2m+9 và 14m+62 nguyên tố cùng nhau

=>điều giả sử là đúng

Vậy \(x=\frac{2m+9}{14m+62}\) là p/s tối giản

Để \(\dfrac{10n^2+9n+4}{20n^2+20+9}\) tối giản

\(\Rightarrow10n^2+9n+4⋮1;20n^2+20n+9⋮1\left(n\in N\right)\)

\(\Rightarrow2\left(10n^2+9n+4\right)-\left(20n^2+20n+9\right)⋮1\)

\(\Rightarrow20n^2+18n+8-20n^2-20n+9⋮1\)

\(\Rightarrow-2n-1⋮1\) (luôn đúng \(\forall n\in N\))

\(\Rightarrow dpcm\)

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì phân số 10�2+9�+420�2+20�+920n2+20n+910n2+9n+4​ tối giản