Question

Chứng minh rằng số hữu tỉ x=\(\frac{10n+9}{15n+14}\)là phân số tối giản vói mọi n thuộc N

 

Answer 1

Đặt \(\left(10n+9;15n+14\right)=d\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}10n+9⋮d\\15n+14⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3.\left(10n+9\right)⋮d\\2.\left(15n+14\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}30n+27⋮d\\30n+28⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\left(30n+28\right)-\left(30n+27\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\)

\(\Rightarrow\frac{10n+9}{15n+14}\)là phân số tối giản với mọi n thuojc N

Answer 2

gọi d là ƯC(10n + 9; 15n + 14) 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}10n+9⋮d\\15n+14⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(10n+9\right)⋮d\\2\left(15n+14\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}30n+27⋮d\\30n+28⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow30n+28-\left(30n+27\right)⋮d\)

\(\Rightarrow30n+28-30n-27⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=\pm1\)

Vậy \(\frac{10n+9}{15n+14}\) là phân số tối giản với mọi n tự nhiên

Answer 3

Gọi ƯCLN(10n + 9 ; 15n + 14) = d

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}10n+9⋮d\\15n+14⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3.\left(10n+9\right)⋮d\\2.\left(15n+14\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}30n+27⋮d\\30n+28⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(30n+28\right)-\left(30+27\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\frac{10n+9}{15n+14}\)là phân số tối giản với \(\forall n\inℕ\)(đpcm)

Answer 4

Gọi ƯCLN(10n+9,15n+14)=d

Ta có : 10n+9 chia hết cho d => 3(10n+9) chia hết cho d => 30n + 27 chia hết cho d

         15n +14 chia hết cho d => 2(15n+14)  chia hết cho d => 30n +28  chia hết cho d

=> (30n+28) - ( 30n+27)  chia hết cho d

=> 1  chia hết cho d => d=1

=> UCLN(10n +9,15n+4) =1

=> (đpcm)