a: Xét hình thang ABCD có 

E là trung điểm của AB

F là trung điểm của DC

Do đó: EF là đường trung bình của hình thang ABCD

Suy ra: EF//AD//BC

Xét tứ giác EFCB có EF//BC

nên EFCB là hình thang

mà \(\widehat{B}=\widehat{C}\)

nên EFCB là hình thang cân

Bài 1:

a) Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AB (gt) ,E là trung điểm của AC (gt)

\(\Rightarrow ME\)là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow ME=\frac{1}{2}BC\left(tc\right)\left(1\right)\)

Xét tam giác ADC có E là trung điểm của AC (gt) ,P là trung điểm của DC (gt)

\(\Rightarrow PE\)là đường trung bình của tam giác ADC

\(\Rightarrow PE=\frac{1}{2}AD\left(tc\right)\left(2\right)\)

mà \(AD=BC\left(gt\right)\left(3\right)\)

Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow EM=PE\)

CMTT: \(PE=FP,FM=ME\)

\(\Rightarrow ME=EP=PF=FM\)

Xét tứ giác MEPF có:

\(ME=EP=PF=FM\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MEPF\)là hình thoi ( dhnb)

 b) Vì \(MEPF\)là hình thoi (cmt)

\(\Rightarrow FE\)giao với MP tại trung điểm mỗi đường (tc)  (4)

Xét tam giác ADB có M là trung điểm của AB(gt) ,Q là trung điểm của AD (gt)

\(\Rightarrow MQ\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow MQ//DB,MQ=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(5\right)\)

Xét tam giác BDC có N là trung điểm của BC(gt) , P là trung điểm của DC(gt)

\(\Rightarrow NP\)là đường trung bình của tam giác BDC

\(\Rightarrow NP//DB,NP=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(6\right)\)

Từ (5) và (6) \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

Xét tứ giác MQPN có \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

\(\Rightarrow MQPN\)là hình bình hành (dhnb)

\(\Rightarrow MP\)giao QN tại trung điểm mỗi đường (tc) (7)

Từ (4) và (7) \(\Rightarrow MP,NQ,EF\)cắt nhau tại một điểm 

c) Xét tam giác ABD có Q là trung điểm của AD (gt), F là trung điểm của BD(gt)

\(\Rightarrow QF\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow QF//AB\left(8\right)\)

CMTT: \(FN//CD\)và \(EN//AB\)

Mà Q,F,E,N thẳng hàng 

\(\Rightarrow AB//CD\)

Vậy để Q,F,E,N thẳng hàng thì tứ giác ABCD phải thêm điều kiện  \(AB//CD\)

Tối về mình làm nốt  nhé giờ mình có việc 

Bài 4 :

Để tứ giác ABCD là hình bình hành

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{DAB}=\widehat{DCB}=120^o\\\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\end{cases}}\)

Lại có : \(\widehat{DAB}+\widehat{DCB}+\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=360^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=120^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=60^o\)

a: Xét ΔABD có

E là trung điểm của AB

F là trung điểm của AD

Do đó: EF là đường trung bình

=>EF//DB

hay EFDB là hình thang

mà \(\widehat{FDB}=\widehat{EBD}\)

nên EFDB là hình thang cân

b: Ta có: ΔAEF cân tại A

mà AI là đường trung tuyến

nên AI là phân giác của góc EAF

hay AI là phân giác của góc PAQ

Xét tứ giác APIQ có 

\(\widehat{API}=\widehat{AQI}=\widehat{QAP}=90^0\)

Do đó: APIQ là hình chữ nhật

mà AI là tia phân giác của góc PAQ

nên APIQ là hình vuông

Bài 1: 

a: Xét tứ giác ABCD có góc B+góc D=180 độ

nên ABCD là tứ giác nội tiếp

=>góc BAC=góc BDC và góc DAC=góc DBC

mà góc CBD=góc CDB

nên góc BAC=góc DAC

hay AC là phân giác của góc BAD
b: Ta có: góc BCA=góc BAC

=>góc BCA=góc CAD

=>BC//AD

=>ABCD là hình thang

mà góc B=góc BCD

nên ABCD là hình thang cân

xét tam giác abc có e là trung điểm của ab (gt)

f là trunng điểm của ac (gt) 

=> ef là đường tuẻng bình của tam giác abc(dn....)

=> ef//bc=>efcb là hiình thang 

b)có ef là đường trung bình của tam giác abc (cmt)

=> ef=1/2 bc hay ef+ef=bc mà ef=de =>de+ef=bc => df=bc mà df//bc( vì ef//bc cmt)

=> dfcb là hình bình hành (dn...)

a: Xét tứ giác DEBF có 

BE//DF

BE=DF

Do đó: DEBF là hình bình hành

a ) Vì \(\hept{\begin{cases}EA=ED\left(gt\right)\\FB=FC\left(gt\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)   EF là đường trung bình của hình thang ABCD.

\(\Rightarrow\) EF // AB // CD 

Xét \(\Delta ABC\) có : \(\hept{\begin{cases}BF=FC\\FK//AB\end{cases}}\)

\(\Rightarrow AK=KC\)

Xét \(\Delta ABD\) có : \(\hept{\begin{cases}AE=ED\\EI//AB\end{cases}}\)

\(\Rightarrow BI=ID\)

Vậy \(\hept{\begin{cases}AK=KC\\BI=ID\end{cases}\left(đpcm\right)}\)

b ) Vì EF là đường trung bình của hình thang ABCD.

\(\Rightarrow EF=\frac{CD+AB}{2}=\frac{10+6}{8}=2\left(cm\right)\)

Mặt khác, ta có :   

* EI là đường trung bình của \(\Delta ABD\)

\(\Rightarrow EI=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.6=3\left(cm\right)\)

* KF là đường trung bình của  \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow KF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.6=3\left(cm\right)\)

Mà : EF = EI + IK + KF

\(\Rightarrow\)   IK = EF - ( EI + KF ) = 8 - ( 3 + 3 ) = 2cm.

Vậy \(\hept{\begin{cases}EI=3cm\\KF=3cm\\IK=2cm\end{cases}}\)

Chúc bạn học tốt !!!