Gọi J là giao điểm của BP và KE; Xét \(\Delta\)BSJ có:

PE // BS; PE = \(\dfrac{1}{2}\) BS 

⇒ PF là đường trung bình của \(\Delta\)BSJ (vì đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy)

⇒ PJ = PB;  EJ = ES (1)

Xét \(\Delta\)ABJ có: AF = FB (gt); PJ = PB  theo (1)

⇒  PF là đường trung bình của \(\Delta\) ABJ (vì đường trung bình của tam giác đi qua trung điểm hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại)

 ⇒ PF// AJ  (2) 

Xét tứ giác ASCJ ta có: E là giao điểm hai đường chéo

     AE = EC (gt)

    EJ = ES ( theo (1)

⇒ Tứ giác ASCJ là hình bình hành vì tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì tứ giác đó là hình bình hành.

⇒ CS // CJ (3)

Kết hợp (2) và(3) ta có:

     CS // PF ( vì trong cùng một mặt phẳng hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.)

  Kết luận: nếu BS = 2EP thì  CS // PF điều phải chứng minh

xét tam giác AEQ và tam giác BEC có

         EQ=EC

         AEQ=BEC đối đỉnh

         EA=EB

=> tam giác AEQ = tam giác BEC(c.g.g).

=> AQ=BC(cạnh tuognư ứng). (1)

Xét Tam giác AFP và tam giác CFB có

      AF=CF

     AFP=CFB đối đỉnh

     FB=FP

=>. tam giác AFB = tam giác CFB(c.g.c)

=> AP = BC (2)

từ (1) và (2) suy ra AP=AQ.

b) xét tam giác BEQ và tam giác AEC có

     EQ=EC

     BEQ=AEC đối đỉnh

     EB=EA

=> tam giác BEQ = tam giác AEC(c.g.c)

=> BQE=AEC(góc tương ứng) mà chúng ở vị trí so le trong nên BQ//AC.

xét tam giác PFC và BFA có:

FA=FC

AFB=CFP

BF=PF

=. tam giác PFC = BFA (c.g.c)

=> FAB = FCB(góc tương ứng)

mà chúng ở vị trí so le trong nên

CP//AB

cho tớ 1 tick nhé! ^^ cảm ơn

vì Tam gáic AEQ = BEC nên QAE=CBE, mà chugns ở vị trí so le trong nên AQ//BC.

=> QAB=CBA

xét tam giác ABQ và tam giác ABC có

     QAB=CAB

     AB chung

    CAB=QBA( AC//BQ)

vậy chúng bằng nhau(g.c.g)

AQB=ACB

mà AQB=CBR(đồng vị) từ hai điều này suy ra ACB=RBC

vì tam giác AFB=CFB nên A=C mà chúng ở vị trí so le trong nên AP//BC=>PAC=BCA

Xét tam giác ABC và PCA có

     BAC=PCA(AB//PC)

     AC chung

     PAC=BCA(cmt)

vậy chúng bằng nhau theo truognừ hợp g.c.g

=>ABC=CPA

mà CPA=RCP( đồng vị) từ hai điều này suy ra ABC=RCB.

Xét tam giác ABC và RCB có 

AQB=CBR

BC chung

CPA=RCP

vậy chúng bằng nhau theo truognừ hợp g.c.g

=> AB=RC;AC=RB(cạnh tuognư ứng)

* Vì AQ//BC,AP//BC, theo tiên đề Ơ-clit => ba điểm Q,A,P thẳng hàng

vì BC = AQ = AP nên BC = 1/2 QP

* Vì AC = BQ(cmt)

      AC=BR(cmt)

nên AC = 1/2 QR

vì theo đề cho ba điểm Q,B,R đã thằng hàng nên không cần chứng minh. ba điểm P,C,R cũng vậy.

* Vì AB=CP(cmt)

      AB=RC(cmt)

nên AB= 1/2 RP

ta có chu vi tam giác PQR = PQ + QR + RP =   \(\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\left(AB+AC+BC\right)=\frac{1}{2}\)chu vi ABC điều phải chứng minh.

d) Xét tam giác  PQR có BQ=BR(cùng bằng AC)

                        CR=CP(cùng bằng AB)

                      AQ=AP(cmt) và Q,A,P thẳng hàng 

suy ra B,C và A lần lượt là trung điểm của QR, RP và PQ.

gọi giao điểm của QC và BP là H

tam giác PQR có QC, PB và RA là các đuognừ trung tuyến giao nhau tại H nên H là trọng tâm. Xong

vậy 3 đường này đồng quy

Skura Công Chúa Hoa Anh Đào  Cái đoạn chứng minh ΔACB và ΔRCB thì trong hai tam giác này làm gì có góc AQB và CPR,CPA và RBC Làm j có 4 góc này đây bạn

a) xét tam giác AEQ và tam giác BEC có

         EQ=EC

         AEQ=BEC đối đỉnh

         EA=EB

=> tam giác AEQ = tam giác BEC(c.g.g).

=> AQ=BC(cạnh tuognư ứng). (1)

Xét Tam giác AFP và tam giác CFB có

      AF=CF

     AFP=CFB đối đỉnh

     FB=FP

=>. tam giác AFB = tam giác CFB(c.g.c)

=> AP = BC (2)

từ (1) và (2) suy ra AP=AQ.

b) xét tam giác BEQ và tam giác AEC có

     EQ=EC

     BEQ=AEC đối đỉnh

     EB=EA

=> tam giác BEQ = tam giác AEC(c.g.c)

=> BQE=AEC(góc tương ứng) mà chúng ở vị trí so le trong nên BQ//AC.

xét tam giác PFC và BFA có:

FA=FC

AFB=CFP

BF=PF

=. tam giác PFC = BFA (c.g.c)

=> FAB = FCB(góc tương ứng)

mà chúng ở vị trí so le trong nên

CP//AB

Có thể loại đường trung bình nữa à Tuân Huỳnh Ngọc Minh???!!!

tự vẽ hình nhé

a)tam giác ABC cân tại A(gt)

=>góc ABC=góc ACB

Xét tam giác BEP có: E thuộc đường trung trực của BP

=>BE=EP

=>tam giác BEP cân tại E

=>góc EBP=góc EPB,mà góc EBP=góc ACB (do góc ABC=góc ACB(cmt))

=>góc EPB=góc ACN,mà chúng ở vị trí đồng vị

=>EP//CF hay EP//AF

Xét tam giác CPF có: F thuộc đường trung trực CP=>CF=PF

=>tam giác CPF cân tại F

=>góc FPC=góc FCP,mà ABC=góc FCP(do góc ABC=góc ACB(cmt))

=>góc FPC=góc ABC,mà chúng ở vị trí đồng vị

=>AB//PF hay AE//PF

Xét tứ giác AEPF có: EP//AF (cmt); AE//PF(cmt)

=>tứ giác AEPF là hình bình hành (DHNB.......)

b, AEPF là hình bình hành (cmt)

=>AF=PE

Lại có CF=PF(cmt)

=>PE + PF = AF + CF = AC không phụ thuộc vào vị trí của điểm P trên BC

a, https://olm.vn/hoi-dap/question/1030999.html

b,\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

CM PD+PE+PF=AH(đường cao)=\(\frac{\sqrt{3}AB}{2}\)

CM BD+CE+AF=\(\frac{3AB}{2}\)

D/s:\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Ta có M, N, P là trung điểm của AB; AC; BC nên

MN là đường trung bình của tg ABC => MN//BC

NP là đường trung bình của tg ABC => NP//AB

MP là đường trung bình của tg ABC => MP//AC

Xét tg PMD có 

PD=PM => tg PMD cân tại P \(\Rightarrow\widehat{PMD}=\widehat{PDM}\) (góc ở đáy tg cân)

Mà MN//BC (cmt) \(\Rightarrow\widehat{NMD}=\widehat{PDM}\) (góc so le trong)

\(\Rightarrow\widehat{PMD}=\widehat{NMD}\) => MD là phân giác của \(\widehat{NMP}\) (1)

Xét tg PNE có

PE=PN => tg PNE cân tại P \(\Rightarrow\widehat{PNE}=\widehat{PEN}\) (góc ở đáy tg cân)

Mà MN//BC (cmt) \(\Rightarrow\widehat{MNE}=\widehat{PEN}\) (góc so le trong)

\(\Rightarrow\widehat{PNE}=\widehat{MNE}\) => NE là phân giác của \(\widehat{MNP}\) (2)

Xét tg NFP có

NF=PE=PN => tg NFP cân tại N\(\Rightarrow\widehat{NPF}=\widehat{NFP}\) (góc ở đáy tg cân)

Mà MP//AC (cmt) \(\Rightarrow\widehat{MPF}=\widehat{NFP}\) (góc so le trong)

\(\Rightarrow\widehat{NPF}=\widehat{MPF}\) => PE là phân giác của \(\widehat{MPN}\) (3)

Xét tg DEF

Từ (1) (2) (3) => DM; NE; PF đồng quy (trong tg 3 đường phân giác đông quy)