Ta có:\(M=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)-2xyz\)

\(=\left(x^2+xz+xy+yz\right)\left(y+z\right)-2xyz\)

\(=x^2y+x^2z+xyz+xz^2+xy^2+xyz+y^2z+yz^2-2xyz\)

\(=x^2y+x^2z+xz^2+xy^2+y^2z+yz^2\)

\(=\left(x^2y+xy^2+xyz\right)+\left(y^2z+yz^2+xyz\right)+\left(z^2x+zx^2+xyz\right)-3xyz\)

\(=xy\left(x+y+z\right)+yz\left(x+y+z\right)+xz\left(x+y+z\right)-3xyz\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)-3xyz\)

Vì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)⋮6\)

Giả sử:Trg 3 số x,y,z không tồn tại số nào chẵn

=> x+y+z lẻ  mà 1 số lẻ không chia hết cho 6 nên điều g/s sai

=> tồn tại ít nất 1 trong 3 số x,y,z chẵn

Giả sử: x chẵn

=> x chia hết cho 2 => 3xyz chia hết cho 6

=> đpcm

46452007

EM LÀ CON GÁI HAY TRAI VẬY 

Có: \(x+y+z⋮6\)

\(\Rightarrow x+y+z=6k\left(k\in Z\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=6k-z\\y+z=6k-x\\z+x=6k-y\end{cases}}\)

\(M=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)-2xyz\)

\(\Leftrightarrow M=x^2y+y^2z+z^2y+xy^2+xz^2+x^2z-2xyz-2xyz\)

\(\Leftrightarrow M=xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(z+x\right)\)

\(\Leftrightarrow M=xy\left(6k-z\right)+yz\left(6k-x\right)+xz\left(6k-y\right)\)

\(\Leftrightarrow M=6k\left(xy+yz+zx\right)-3xyz\)

Ta có:\(x+y+z=6k\left(k\in Z\right)\)

\(\Rightarrow\)x+y+z là số chẵn.

\(\Rightarrow\)trong 3 số x;y;z có ít nhất 1 số chẵn

\(\Rightarrow xyz⋮2\)

\(\Rightarrow3xyz⋮6\)

\(M=6k\left(xy+yz+zx\right)-3xyz⋮6\)( vì \(6k\left(xy+yz+zx\right)⋮6\))

đpcm

a/ \(C=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)

b/ Ta có: 

\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)-2xyz\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-3xyz\)

Vì \(x+y+z⋮6\)

Nên trong 3 số x, y, z có ít nhất 1 số chẵn

\(\Rightarrow3xyz⋮6\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-3xyz⋮6\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x}\ge\dfrac{16}{3x+3y+2z}\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{3x+2y+2z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x}\right)\\ \Leftrightarrow\sum\dfrac{1}{3x+2y+2z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{4}{x+y}+\dfrac{4}{y+z}+\dfrac{4}{z+x}\right)=\dfrac{4}{16}\cdot6=\dfrac{3}{2}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

(x+y)(y+z)(z+x)-2xyz

⇒(x+y+z)-z(x+y+z)-x(x+y+z)-y-2xyz

⇒(x+y+z)nhân-(x+y+z)-2xyz

⇒6(-6)-2xyz⋮6

⇒(x+y)(y+z)(z+x)-2xyz⋮6