Tìm số nguyên dương n sao cho\(\left(n+3\right)\left(4n^2+14n+7\right)\) là một số chính phương
Tìm số tự nhiên n để \(\left(n+3\right)\left(4n^2+14n+7\right)\)là số chính phương
Ai làm nhanh và đúng mình tick cho 3 tick!!!
Tìm n\(\in\)N* để: \(A=\left(n+3\right).\left(4n^2+14n+7\right)\)là số chính phương.
Tìm số nguyên dương n sao cho A=(n+3)(4n2+14n+7) là 1 số chinh phương
Cho m,n là 2 số nguyên dương sao cho \(k=\frac{\left(m+n\right)^2}{4m\left(m-n\right)^2+4}\) là số nguyên dương. CMR k là số chính phương
Chuyên sư phạm Hà Nội (2014)
3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n\(\ge\)6 thì số:
\(a_n=1+\frac{2.6.10...\left(4n-2\right)}{\left(n+5\right)\left(n+6\right)...\left(2n\right)}\) là 1 số chính phương
Ta có: \(a_n=1+\frac{2^n\left[1.3.5...\left(2n-1\right)\right]}{\left(n+5\right)\left(n+6\right)...\left(2n\right)}\)
\(=1+\frac{2^n\left(2n\right)!}{\left[2.4.6..\left(2n\right)\right]\left[\left(n+5\right)\left(n+6\right)..\left(2n\right)\right]}\)
\(=1+\frac{\left(2n\right)!}{n!\left(n+5\right)\left(n+6\right)...\left(2n\right)}\)
\(=1+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)\)
mặt khác \(1+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)=\left(n^2+5n+5\right)^2\)
do đó an luôn là SCP
CMR: Với mọi số nguyên a,b,c ta luôn tìm được số nguyên dương sao cho số \(f\left(n\right)=n^3+an^2+bn+c\) không phải là số chính phương.
Giả sử f(n) là số chính phương với mọi n nguyên dương
Đặt \(f\left(n\right)=n^3+On^2+Ln+M\)
Suy ra \(f\left(1\right)=1+O+L+M\);\(f\left(2\right)=8+4O+2L+M\);\(f\left(3\right)=27+9O+3L+M\);\(f\left(4\right)=64+16O+4L+O\) đều là số chính phương.
Mà \(f\left(4\right)-f\left(2\right)\equiv2L\left(mod4\right)\) và\(f\left(4\right)-f\left(2\right)\equiv0,1,-1\left(mod4\right)\)(do \(f\left(4\right),f\left(2\right)\)đều là số chính phương)
Do đó= \(2L\equiv0\left(mod4\right)\)
Suy ra \(2L+2\equiv2\left(mod4\right)\)
Mặt khác \(f\left(3\right)-f\left(1\right)\equiv2L+2\left(mod4\right)\)
=>Mâu thuẫn với điều giả sử (do \(f\left(3\right)-f\left(1\right)\equiv0,1,-1\left(mod4\right)\))
=>Đpcm
Vậy luôn tồn tại n nguyên dương sao cho \(f\left(n\right)=n^3+On^2+Ln+M\)không phải là số chính phương.
Tìm số nguyên dương n sao cho \(\frac{n\left(2n-1\right)}{26}\)là số chính phương
tìm số nguyên dương n sao cho \(\frac{n\left(2n-1\right)}{26}\) là số chính phương
Ta có \(\frac{n\left(2n-1\right)}{26}=k^2\Leftrightarrow2n^2-n-26k^2=0\)
\(\Delta=208k^2+1=t^2\)(vì n nguyên dương)
\(\Rightarrow\left(t+4\sqrt{13}k\right)\left(t-4\sqrt{13}k\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}t+4\sqrt{13}k=1\\t-4\sqrt{13}k=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}k=0\\t=1\end{cases}}}\)
Thế vào tìm được \(\orbr{\begin{cases}n=0\\n=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
Vậy không có giá trị n nguyên dương nào thỏa mãn cái đó
\(\frac{n\left(2n-1\right)}{26}\text{ là SCP }\Leftrightarrow n\left(2n-1\right)=26k^2\)
\(\Delta_n=208k^2+1=y^2\Leftrightarrow y^2-208k^2=1\underrightarrow{\text{PELL}}\)
\(k=\pm\frac{\left(649-180\sqrt{13}\right)^m-\left(649+180\sqrt{13}\right)^m}{8\sqrt{13}}\)
\(n=\frac{1}{8}\left[-\left(649-180\sqrt{13}\right)^m-\left(649+180\sqrt{13}\right)^m+2\right]\left(m\inℤ,m\ge0\right)\)
Fan chân chính của anh slen
CHO P=\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)
cmr: a)với n là số nguyên dương thì p không là số chính phương.
b)tím n để P là số chính phương