\(a)\) Giả sử \(\left|x\right|+\left|y\right|\ge\left|x+y\right|\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)^2\ge\left|x+y\right|^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left|x\right|^2+2\left|xy\right|+\left|y\right|^2\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2\left|xy\right|+y^2\ge x^2+2xy+y^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(2\left|xy\right|\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left|xy\right|\ge xy\) ( luôn đúng ) 

\(b)\) Giả sử \(\left|x\right|-\left|y\right|\le\left|x-y\right|\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(\left|x\right|-\left|y\right|\right)^2\le\left|x-y\right|^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left|x\right|^2-2\left|xy\right|+\left|y\right|^2\le\left(x-y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2-2\left|xy\right|+y^2\le x^2-2xy+y^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(-2\left|xy\right|\le-2xy\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left|xy\right|\ge xy\) ( luôn đúng ) 

Chúc bạn học tốt ~ 

Ta có: \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^4+y^4}{x^2y^2}\ge\frac{x^2+y^2}{xy}\Leftrightarrow\frac{x^4+y^4}{x^2y^2}\ge\frac{x^3y+xy^3}{x^2y^2}\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\Leftrightarrow x^4+y^4-x^3y-xy^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)(đúng)

Các phép biến đổi là tương đương suy ra đpcm
Dấu "=" xảy ra khi x=y

cám ơn bạn nha

nãy đánh đi đánh lại máy 2 lần => olm bị lỗi hay sao á , bị kiểu này suốt , bực mik quá 

================================

Hướng dẫn :

-C.M 2(x² + y² + z² )\(\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)( => dùng AM-GM)

- CM : x² +1+y²+1+z²+1 \(\ge2\left(x+y+z\right)\) ( => nhóm x² +1 , y² +1  , z² +1 => dùng AM -GM sau đó cộng vế với vế) 

Cộng vế với vế của 2 cái vừa c.m 

3(x²+y²+z²) +3 \(\ge12\)

Đến đây ok rồi

\(\left(x-1\right)^2>=0< =>x^2>=2x-1.\)

Tương tự:\(y^2>=2y-1,z^2>=2z-1.\)

\(=>x^2+y^2+z^2>=2\left(x+y+z\right)-3.\left(1\right).\)

ta có:\(x^2+y^2+z^2>=xy+yz+xz.\)

Thật vậy khi ta nhân 2 vế với 2 rồi chuyển vế sẽ được

\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2>=0\left(lđ\right).\)

\(=>x^2+y^2+z^2>=xy+yz+xz< =>2\left(x^2+y^2+z^2\right)>=2\left(xy+yz+xz\right).\left(2\right).\)

Từ (1) và (2)

\(=>3\left(x^2+y^2+z^2\right)>=2\left(xy+yz+xz+x^2+y^2+z^2\right)-3=9.\)

\(=>x^2+y^2+z^2>=3\left(đpcm\right)\)

Dấu '=' xảy ra khi x=y=z=1

Bài toán sai.

Ví dụ: a \(\ge\) b \(\ge\) c  1

Thì có a=1, b=1, c=1

\(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{b+1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}<2\)

xin lỗi mk nhầm đề!!

bạn giải chi tiết ra cho mk đc ko?

Ta cần chứng minh:\(\frac{\left(x+1\right)^2}{4}\ge x\)

Thật vậy: \(\left(x-1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+1\ge4x\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2\ge4x\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+1\right)^2}{4}\ge x\)(đpcm)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+a+b+c+}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)

Cái đó chỉ đúng khi 1/1+a=1/1+b=1/1+c thoi

999 - 888 - 111 + 111 - 111 + 111 - 111

= 111 - 111 + 111 - 111 + 111 - 111

= 0 + 111 - 111 + 111 - 111

= 111 - 111 + 111 - 111

= 0 + 111 - 111

= 111 - 111

= 0

a/ Giả sử: |x| + |y| < |x + y|  => ( |x| + |y| )²  <  ( |x +  y|²)  => x² + 2 . |x| . |y| + y²  < x² + 2xy + y²   =>  |x| . |y|  < xy (Vô lý)

=> |x| + |y|  \(\ge\) |x + y|

b/ Giả sử: |x| - |y| > |x - y|  => ( |x| - |y| )²  > ( |x -  y|²)  => x² - 2 . |x| . |y| + y²  < x² - 2xy + y²   => - |x| . |y|  > -xy (Vô lý)

=> |x| - |y|  \(\le\) |x - y|

Cách 2: 

a/ Giả sử: |x| + |y|\(\ge\)|x + y|  => ( |x| + |y| )² \(\ge\) ( |x +  y|²)  => x² + 2 . |x| . |y| + y² \(\ge\) x² + 2xy + y²   =>  |x| . |y|   \(\ge\) xy (Bất đẳng thức đúng)

Vậy |x| + |y|  \(\ge\) |x + y|

b/ Giả sử: |x| - |y|  \(\le\)|x - y|  => ( |x| - |y| )² \(\le\)( |x -  y|²)  => x² - 2 . |x| . |y| + y²  \(\le\)x² - 2xy + y²   => - |x| . |y|    \(\le\)  -xy (Bất đẳng thức đúng)

Vậy |x| - |y|  \(\le\) |x - y|

a) ta có : 12.1 < 20 ; 12.2 > 20 và 12.4 > 50 nên các số tự nhiên x sao cho : x thuộc B(12) và 20 nhỏ hơn hoặc bằng x lớn hơn hoặc bằng 50 là 24 , 36 , 48 .

b) ta có : 15.0 = 0 ; 15.1=15 > 0 và 15.2< 40 ; 15.3 > 40 nên các số tự nhiên x sao cho : x chia hết cho 15 và 0 < x < hoặc bằng 40 là 15 và 30

Trl

-bạn KILL TEAM KILL làm đúng r nhé

Hok tốt