a) Áp dụng BĐT Svácxơ, ta có:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)

b) Áp dụng BĐT Svácxơ, ta có:

\(\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c=6\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)

Lời giải:
a. Áp dụng BĐT Cô-si:

$\frac{1}{a}+\frac{a}{4}\geq 1$

$\frac{1}{b}+\frac{b}{4}\geq 1$

$\frac{1}{c}+\frac{c}{4}\geq 1$

Cộng theo vế:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{a+b+c}{4}\geq 3$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{6}{4}\geq 3$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{2}$ (đpcm) 

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$
b.

Áp dụng BĐT Cô-si:

$\frac{a^2}{c}+c\geq 2a$

$\frac{b^2}{a}+a\geq 2b$

$\frac{c^2}{b}+b\geq 2c$

$\Rightarrow \frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+(c+a+b)\geq 2(a+b+c)$

$\Rightarrow \frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\geq a+b+c=6$ (đpcm) 

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$

đề sai upp làm gì ?

đề sai á? tg ns lăng nhăng lên đây thử xem có ai giải k thôi

sai rành ra còn gi @@ làm gì có điểm rơi 

Áp dụng bất đẳng thức  Bunyakovsky cho  \(2\)  bộ  \(3\)  số thực  \(\left(1+1+1\right)\)  và  \(\left(a+b+c\right)\). Ta có:

\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=\frac{9}{4}\)

\(\Rightarrow\)  \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\frac{9}{4}}{3}=\frac{3}{4}\)  \(\left(đpcm\right)\)

Dấu   \("="\)   xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:

\(\left(a^2+b+c\right)\left(1+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)Do đó, để chứng minh bất đẳng thức đã cho, ta chỉ cần chứng minh rằng:

\(\frac{a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+c+a}+c\sqrt{1+a+b}}{a+b+c}\le\sqrt{3}\)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi lần thứ hai ta nhận được:

\(VT=\frac{\sqrt{a}\sqrt{a\left(1+b+c\right)}+\sqrt{b}\sqrt{b\left(1+c+a\right)}+\sqrt{c}\sqrt{c\left(1+a+b\right)}}{a+b+c}\)

\(\le\frac{\sqrt{\left(a+b+c\right)\left[a\left(1+b+c\right)+b\left(1+c+a\right)+c\left(1+a+b\right)\right]}}{a+b+c}\)

\(=\sqrt{1+\frac{2\left(ab+bc+ca\right)}{a+b+c}}\)

\(\le\sqrt{1+\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}}\)

\(\le\sqrt{1+\frac{2\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{3}}=\sqrt{3}\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

sửa đề thành \(a^2+b^2+c^2=3\) nhé

Tìm Min thì còn tìm dc chứ Tìm max khó lắm ::::V

ko hiểu pain nói j quên đây lp 8