1/ Ta có: \(\frac{x^4}{1a}+\frac{y^4}{b}=\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow1bx^4\left(a+b\right)+ay^4\left(a+b\right)=ab\left(x^4+2x^2y^2+y^4\right)\)

 \(\Leftrightarrow\left(ay^2-bx^2\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{1a}=\frac{y^2}{b}=\frac{\left(x^2+y^2\right)}{a+b}=\frac{1}{a+b}\)

\(\Rightarrow\frac{x^{2006}}{1a^{1003}}=\frac{y^{2006}}{b^{1003}}=\frac{1}{\left(a+b\right)^{1003}}\)

 \(\Rightarrow\frac{x^{2006}}{a^{1003}}+\frac{y^{2006}}{b^{1003}}=\frac{2}{\left(a+b\right)^{1003}}\)

Áp dụng TCDTSBN ta có :

\(\frac{a-b}{x}=\frac{b-c}{y}=\frac{a-c}{z}=\frac{\left(a-b\right)+\left(b-c\right)-\left(a-c\right)}{x+y-z}=\frac{0}{x+y-z}=0\)

\(\Rightarrow\frac{a-b}{x}=0\Rightarrow a-b=0\Rightarrow a=b\) (1)

\(\Rightarrow\frac{b-c}{y}=0\Rightarrow b-c=0\Rightarrow b=c\) (2)

\(\Rightarrow\frac{a-c}{z}=0\Rightarrow a-c=0\Rightarrow a=c\) (3)

Từ (1);(2) và (3) \(\Rightarrow a=b=c\) (đpcm)

1. Đề thiếu

2. BĐT cần chứng minh tương đương:

\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)

Ta có:

\(a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\dfrac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)^2\ge\dfrac{1}{3}.3abc\left(a+b+c\right)\) (đpcm)

3.

Ta có:

\(\left(a^6+b^6+1\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(a^3+b^3+1\right)^2\)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+1+b^3+c^3+1+c^3+a^3+1\right)\)

\(VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

Lại có:

\(a^3+b^3+1\ge3ab\) ; \(b^3+c^3+1\ge3bc\) ; \(c^3+a^3+1\ge3ca\)

\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge3\left(ab+bc+ca\right)=9\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)

\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{6}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)

4.

Ta có:

\(a^3+1+1\ge3a\) ; \(b^3+1+1\ge3b\) ; \(c^3+1+1\ge3c\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)=9\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)

5.

Ta có:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}}\) ; \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{b}}\) ; \(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{c}{b}}+\sqrt{\dfrac{a}{c}}\le\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=1\)

Câu 1:

\(VT=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\)

\(VT=1-\dfrac{1}{n}< 1\) (đpcm)

1) \(21x^2+21y^2+z^2\)

\(=18\left(x^2+y^2\right)+z^2+3\left(x^2+y^2\right)\)

\(\ge9\left(x+y\right)^2+z^2+3.2xy\)

\(\ge2.3\left(x+y\right).z+6xy\)

\(=6\left(xy+yz+zx\right)=6.13=78\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y ; 3(x+y) = z; xy + yz + zx= 13 <=> x = y = 1; z= 6

2) \(x+y+z=3xyz\)

<=> \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=3\)

Đặt: \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\)=> ab + bc + ca = 3

Ta cần chứng minh: \(3a^2+b^2+3c^2\ge6\)

Ta có: \(3a^2+b^2+3c^2=\left(a^2+c^2\right)+2\left(a^2+c^2\right)+b^2\)

\(\ge2ac+\left(a+c\right)^2+b^2\ge2ac+2\left(a+c\right).b=2\left(ac+ab+bc\right)=6\)

Vậy: \(\frac{3}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{3}{z^2}\ge6\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = c = \(\sqrt{\frac{3}{5}}\); \(b=2\sqrt{\frac{3}{5}}\)

khi đó: \(x=z=\sqrt{\frac{5}{3}};y=\sqrt{\frac{5}{3}}\)

B3 mk tìm đc cách giải r nhưng bạn nào muốn thì trả lời cg đc

Các bạn giải giúp mình B2 và B5 nhé. Mấy bài kia mình giải được rồi.

tra mạng đi hỏi nhiều haha!!!

:V chưởng nhờ anh HUY chỉ cho hihi

nó học giỏi toán lắm đó hehe!!!!

nvcl

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a-b}{x}=\frac{b-c}{y}=\frac{a-c}{z}=\frac{\left(a-b\right)+\left(b-c\right)+\left(a-c\right)}{x+y+z}=\frac{2\left(a-c\right)}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-c}{z}=\frac{2\left(a-c\right)}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=2z\)
Do x+y+z lẻ và 2z là số chẵn nên không tồn tại x,y,z=> Đề sai :))
 

đề thi hsg đó chắc k sai đc đâu

Câu 1: xy + x - y = 4

<=> (xy + x) - (y+ 1) = 3

<=> x(y+1) - (y + 1) = 3

<=> (y + 1) (x - 1) = 3

Theo bài ra cần tìm các số nguyên dương x, y => Xét các trường hợp y + 1 nguyên dương và x -1 nguyên dương.

Mà 3 = 1 x 3 => Chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau:

* TH1: y + 1 = 1; x - 1 = 3 => y = 0; x = 4 (loại vì y = 0)

* TH2: y + 1 = 3; x -1 = 1 => y = 2; x = 2 (t/m)

Vậy x = y = 2.

Câu 2:

Ta có:

 (a - b)/x = (b-c)/y = (c-a)/z =(a-b + b -c + c - a) (x + y + z) = 0

Vì x; y; z nguyên dương => a-b =0; b - c = 0; c- a =0 => a = b = c

 \(\frac{a-b}{x}=\frac{b-c}{y}=\frac{c-a}{z}\)

Bài 3 thì \(\le1\)

Bài 4 thì \(\ge\frac{3}{4}\) nhé