Vì \(-1\le a\le1\Rightarrow a^2\le1\)Tương tự có \(b^2\le1;c^2\le1\)

Suy ra \(P=a^2+2b^2+c^2\le1+2\cdot1+1=4\)hay \(maxP=4\)

   Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\pm1\)

ta có \(4=2a^2+\frac{b^2}{4}+\frac{1}{a^2}=a^2+a^2+\frac{b^2}{4}+\frac{1}{a^2}\ge4\sqrt[4]{\frac{a^2.a^2.b^2}{4a^2}}\)

Vậy\(\sqrt[4]{\frac{a^2b^2}{4}}\le1\Leftrightarrow a^2b^2\le4\Leftrightarrow-2\le ab\le2\)

Vậy \(2007\le ab+2009\le2011\)

Theo BĐT Cauchy Schwarz 

\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=9\)

Dấu ''='' xảy ra khi a = b = c = 1/3 

sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxky  cho 3 số ko âm, ta có:

P>= ( a+b+c)^2/ 2( a+b+c)=1^2/2*1=1/2

vậy min P= 1/2 tại a=b=c=1/3

hok tốt

@♡♡♡Cố Tử Thần♡♡♡ phải là áp dụng Bunhia dạng phân thức mới chính xác

Áp dụng bdtd Cauchy-Schwarz dạng phân thức :

\(P=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

Đề là tìm giá trị LỚN nhất

1) \(P=\left(a+2b+3c\right)\left(6a+3b+2c\right)\)

\(P=\left[a+2b+3\left(1-a-b\right)\right]+\left[6a+3b+2\left(1-a-b\right)\right]=\left(3-2a-b\right)\left(2+4a+b\right)=2\left(3a-2b-b\right)\left(1+2a+\dfrac{b}{2}\right)\)

Lợi dụng AM-GM, ta có:

\(P\le2\left(\dfrac{3-2a-b+1+2a+\dfrac{b}{2}}{2}\right)^2=2.\left(\dfrac{4-\dfrac{b}{2}}{2}\right)^2=8\)

Max_P=8 khi \(a=c=\dfrac{1}{2};b=0\)

2) Sử dụng AM-GM tìm được Max=80 khi b=0;a=2c=2

∙2/(a+b)=2/(a²+b²)≥(a+b)²⇒a+b≤2

Do đó:

S=a/a+1+b/b+1=(1−1/a+1)+(1−1/b+1)=2−(1/a+1+1/b+1)≤2−4/a+b+2≤2−4/2+2=1