Tìm số nguyên tố \(\overline{abcd}\)sao cho \(\overline{ab}\)và\(\overline{ac}\)là các số nguyên tố, biết \(\overline{abbc}\)=\(\overline{ab}\).\(\overline{ac}\).7
Tìm số nguyên tố \(\overline{abcd}\)sao cho \(\overline{ab},\overline{ac}\)là các số nguyên tố và \(b^2=\overline{cd}+b-c\)
vì abcd,ab,ac là số nguyên tố nên là số lẻ hay b,c,d lẻ và khác 5. Ta có :
b2 = cd + b - c \(\Rightarrow\)b ( b - 1 ) = cd - c = 10c + d - c = 9c + d \(\ge\)10
\(\Rightarrow\)b \(\ge\)4 \(\Rightarrow\) b = 7 hoặc b = 9
+) b = 7 ta có : 9c + d = 42 \(\Rightarrow\)d \(⋮\)3 \(\Rightarrow\)d = 3 hoặc d = 9
Nếu d = 3 thì c = \(\frac{39}{9}\)( loại )
Nếu d = 9 thì c = \(\frac{33}{9}\)( loại )
+) b = 9 thì 9c + d = 72 \(\Rightarrow\)d = 9 ; c = 7
Mà a7 và a9 là số nguyên tố thì a = 1
Vậy abcd = 1979
Tìm số nguyên tố \(\overline{abcd}\)sao cho\(\overline{ab};\overline{ac}\) là các số nguyên tố thỏa mãn b2=\(\overline{cd}\)+b-c.
Tìm số nguyên tố \(\overline{abcd}\)sao cho\(\overline{ab};\overline{ac}\) là các số nguyên tố thỏa mãn b2=\(\overline{cd}\)+b-c.
Giải:
Vì \(\overline{abcd},\overline{ab}\) và \(\overline{ac}\) là các số nguyên tố
\(\Rightarrow b,c,d\) là các số lẻ khác \(5\)
Ta có:
\(b^2=\overline{cd}+b-c\Leftrightarrow b\left(b-1\right)=\overline{cd}-c\)
\(=10c+d-c=10c-c+d=9c+d\)
Do \(9c+d\ge10\) nên \(b\left(b-1\right)\ge10\)
\(\Rightarrow b\ge4\). Do đó \(\left[{}\begin{matrix}b=7\\b=9\end{matrix}\right.\)
Ta có các trường hợp sau:
\(*)\) Nếu \(b=7\) ta có:
\(9c+d=42⋮3\Rightarrow d⋮3\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d=3\\d=9\end{matrix}\right.\)
Với \(d=3\Rightarrow9c=39\Rightarrow\) Không tồn tại \(c\in N\)
Với \(d=9\Rightarrow9c+d⋮9\) còn \(42\) \(⋮̸\) \(9\) (loại)
\(*)\) Nếu \(b=9\) ta có:
\(9c+d=72⋮9\Rightarrow d⋮9\Rightarrow d=9\)
\(9c+9=72\Rightarrow9c=63\Rightarrow c=7\)
\(\overline{ab}=\overline{a9}\) là số nguyên tố \(\Rightarrow a\ne3;6;9;4\)
\(\overline{ac}=\overline{a7}\) là số nguyên tố \(\Rightarrow a\ne2;5;7;8\)
Mặt khác \(a\ne0\Rightarrow a=1\)
Vậy số cần tìm là \(1979\) (thỏa mãn số nguyên tố)
Biết \(\overline{abcd}\) là số nguyên tố có bốn chữ số thỏa mãn \(\overline{ab;cd}\) cũng là số nguyên tố và \(b^2\) =\(\overline{cd}\) + b -c. Hãy tìm \(\overline{abcd}\)
1:a, tìm số nguyên n sao cho 4n+13 chia hết cho 2n-1
b, tìm số nguyên tố abcd sao cho ab ; ac là các số nguyên tố và b2 = cd + b - c
Tìm các chữ số a , b , c khác 0 thỏa mãn : \(\overline{abbc}\) = \(\overline{ab}\) . \(\overline{ac}\) . 7
Bài 4 (3.0 điểm) : Tìm số nguyên tố \(\overline{ab}\) ( a > b > 0 ), sao cho \(\overline{ab}-\overline{ba}\) là số chính phương.
Ta có : \(\overline{ab}-\overline{ba}=\) (10a +b) \(-\) (10b +a) \(=\) 10a + b \(-\) 10b \(-\) a \(=\) 9a \(-\) 9b
\(=\) 9(a\(-\)b) \(=\) 32(a\(-\)b)
=> a, b ∉ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} => 1 ≤ a- b ≤ 8
Để \(\overline{ab}-\)\(\overline{ba}\) là số chính phương thì a – b = 1; 4
+) a – b = 1 (mà a > b) ta có các số \(\overline{ab}\) là : 98 ; 87 ; 76; 65; 54 ; 43; 32; 21
Vì \(\overline{ab}\) là số nguyên tố nên chỉ có số 43 thoả mãn
+) a – b = 4 (mà a > b) ta có các số \(\overline{ab}\) là : 95 ; 84 ; 73; 62; 51
Vì \(\overline{ab}\) là số nguyên tố nên chỉ có số 73 thoả mãn
Vậy có hai số thoả mãn điều kiện bài toán là 43 và 73
Tìm các chữ số a , b ,c thỏa mãn : \(\overline{abbc=\overline{ab}.\overline{ac}.7}\)
Gọi : ab = m ; ac = n ; bc = d ( m,n,d \(\inℕ^∗\))
Ta có : 100m + d = m . n . 7
=> \(\frac{100m+d}{m}=n.7\)(1)
Vì 7n là số tự nhiên => \(100m+d⋮m\Rightarrow d⋮m\Rightarrow d=mk\left(k\inℕ^∗,k< 10\right)\)
Thay vào (1) ta được : \(\frac{100m+mk}{m}=7n\Rightarrow\frac{m\left(100+k\right)}{m}=7n\Rightarrow100+k=7n\)
Vì \(100< 100+k< 110\)mà \(7n⋮7\Rightarrow100+k⋮7\Rightarrow100+k=105\Rightarrow n=\frac{105}{7}=15\)
=> 1bb5 = 1b . 105
=> 100. 1b + b5 =1b . 100 + 1b . 5
=> b5 = 1b . 5 => 10b + 5 = 50 + 5b => 5b = 45 => b = 9
Vậy a = 1 ; b = 9 và c = 5
Tìm các chữ số a,b,c thỏa mãn : \(\overline{abbc}=7.\overline{ab}.\overline{ac}\)
abbc=100.ab+bc
ab.ac.7-100.ab=bc
ab.(ac.7-100)=bc
⇒⇒ ac.7-100 < 10
⇒⇒ ac<16
⇒⇒ a=1
Ma ac.7-100=1c.7-100=c.7+70-100=c.7-30<10
⇒⇒ c.7<40
⇒⇒ c<6
va c.7-30>0
⇒⇒ c.7 >30
⇒⇒ c>4
⇒⇒ c=5
Ma 1c.7-100=15.7-100=5
⇒⇒ ab.5=bc
Hay 1b.5=b5
⇒⇒ 50+5b=10.b+5
⇒⇒ 5.b=45
⇒⇒ b=9
Vay a=1;b=9;c=5