Cho a, b, c, d \(\inℕ^∗\)và S = (a+b / c) + (b+c/ a) + (c+a/b)
a) Chứng minh S \(\ge\) 6
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của S
Cho a, b, c \(\inℕ^∗\) và S= \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
a) CMR: S\(\ge\)6
b) Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của S
* Chứng minh tổng hai phân số dương nghịch đảo lớn hơn hoặc bằng 2 :
Cho phân số : \(\frac{a}{b}\) \(\left(a,b\inℕ^∗\right)\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}-\frac{2ab}{ab}=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)
Do đó :
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\)\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) ( điều phải chứng minh )
Vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Chúc bạn học tốt ~
\(a)\) Ta có :
\(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
\(S=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\)
\(S=\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)
Vì tổng của hai phân số nguyên dương nghịch đảo sẽ luôn lớn hơn hoặc bằng 2 nên ta được :
\(\hept{\begin{cases}\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\\\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\\\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge2\end{cases}}\)
Cộng theo vế ba đẳng thức trên ta có :
\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge2+2+2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge6\)
\(\Leftrightarrow\)\(S\ge6\)
Vậy \(S\ge6\)
\(b)\) Vì \(S\ge6\) nên \(S_{min}=6\) khi \(a=b=c\)
Chúc bạn học tốt ~
Bạn ơi, có Chứng minh đc tại sao tổng của 2 phân số dương nghịch đảo lại lớn hơn 2 ko
cho a,b,c là các số tự nhiên biết, S=a+b/c+ b+c/a+ c+a/b
a)Chứng minh rằng S>b
b)tìm giá trị nhỏ nhất của S
Bài 1: Cho a, b, c\(\inℕ^∗\)và S =\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của S
Bài 2: Chứng minh rằng : A =\(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{49^2}+\frac{1}{50^2}>\frac{1}{4}\)
Bài 1 :
Ta có : \(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
\(=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\)
\(=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)
Ta chứng minh BĐT \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2,\forall x,y>0\)
Thật vậy : BĐT \(\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\) ( đúng )
Vậy \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2,\forall x,y>0\)
Áp dụng vào bài toán ta có : \(S\ge2+2+2=6\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Vậy min \(S=6\) tại \(a=b=c\)
Cho a,b,c thuộc N*
S= a+b/c + b+c/a + c+a/b
Chứng minh rằng S lớn hơn hoặc bằng 6. TÌm giá trị nhỏ nhất của S
\(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
\(S=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\)
Áp dụng BĐT cô si ta có:\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
LÀm tương tự ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\\\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\\\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\ge2\end{cases}}\Rightarrowđpcm\)
Vậy GTNN của S =6 khi a=b=c
Cho a , b , c \(\inℕ^∗\)và \(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
a) Chứng minh S \(\ge\)6.
b) Timf GTNN của S.
a)
Cách 1: Do \(a,b,c\inℕ^∗\)nên \(a,b,c\ge1\). Do đó:
\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge6\)
Cách 2 (không thông dụng lắm, mình tự nghĩ ra)
Dự đoán: \(a=b=c\)
Do đó: \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=\frac{2a}{a}+\frac{2a}{a}+\frac{2a}{a}=\frac{a\left(2+2+2\right)}{a}=6\) (do a = b = c nên ta thế b, c = a) (đpcm)
b) Từ kết quả a) ta dễ thấy GTNN của S là 6
tham khảo https://olm.vn/hoi-dap/question/1193140.html
Chúc bạn học tốt ~
Cho a; b; c \(\in\) N* và S = \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\).
a) Chứng minh S > hoặc = 6
b) Tìm GTNN (giá trị nhỏ nhất) của S.
a) \(S=\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow S=\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)
Tổng của hai phân số dương nghịch đảo bao giờ cũng lớn hơn hoặc bằng 2 nên :
\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\) ; \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\) ; \(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge2\)
\(\Rightarrow S\ge2+2+2=6\)
b) \(S\ge6\) nên GTNN của S là 6 ( \(\Leftrightarrow\) a = b =c )
a] Ta có : \(S=\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\right)\); \(S=\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)
\(\Rightarrow S\ge2+2+2=6\)
b] Ta có \(S=6\Leftrightarrow a=b=c\)
GTNN của S =6
Em trả lời trước nhé nhưng chưa hiện lên O-L-M đừng chọn bạn kia vội !
cho tổng s= a+b/c +b+c/a + c+a/b
a,chứng minh rằng s lớn hơn hoặc bằng 6
b, tìm giá trị lớn nhất của s
\(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}.\)
\(S=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}.\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\left(1\right)\)
\(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\left(2\right)\)
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\left(3\right)\)
Cộng (1) ; (2) và (3) ta được :
\(S=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge6\) (đpcm)
Cho a, b, c \(\inℤ\) và \(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\)
a) Tính giá trị nhỏ nhất của S
b) Chứng minh rằng S < 6
cho a,b,c thuộc N* và S=\(\frac{a+b}{c}\)+\(\frac{b+c}{a}\)+\(\frac{a+c}{b}\).chứng minh rằng S lớn hơn hoặc bằng 6,
Tìm giá trị nhỏ nhất của S
bạn giải rõ cho mình với...mình cầu xin bạn đó Nguyễn Thị Hương
Ta Có S = \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}=\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)
Vì mỗi ngoặc sẽ lớn hơn hoặc bằng 2 => s lớn hơn hoặc băng 6 (đpcm)