gọi chữ số tận cùng của 7\(^n\) là:a

Ta có:7\(^{n+4}\)=7\(n\) .7\(^4\)=﴾...a﴿.2401=...a (đpcm)

Gọi chữ số tận cùng của 7^n là ab

Ta có \(7^{n+4}=7^n.7^4=\left(...ab\right).2401=\left(...ab\right).2400+\left(...ab\right).1=\left(...00\right)+\left(...ab\right)=\left(...ab\right)ĐPCM\)

TẤT CẢ CÁC SỐ \(5^n\)ĐỀU CÓ TẬN CÙNG LÀ 5 THÌ 5+2 = 7

Đặt A = n^6 + n^4 – 2n^2 = n^2 (n^4 + n^2 – 2) 
= n^2 (n^4 – 1 + n^2 – 1) 
= n^2 [(n^2 – 1)(n^2 + 1) + n^2 – 1] 
= n^2 (n^2 – 1)(n^2 + 2) 
= n.n.(n – 1)(n + 1)(n^2 + 2) 
+ Nếu n chẳn ta có n = 2k (k thuộc N) 
A = 4k^2 (2k – 1)(2k + 1)(4k^2 + 2) = 8k^2 (2k – 1)(2k + 1)(2k^2 + 1) 
Suy ra A chia hết cho 8 
+ Nếu n lẻ ta có n = 2k + 1 (k thuộc N) 
A = (2k + 1)^2 . 2k (2k + 2)(4k^2 + 4k + 1 + 2) 
= 4k(k + 1)(2k + 1)^2 (4k^2 + 4k + 3) 
k(k + 1) chia hết cho 2 vì là tích hai số liên tiếp 
Suy ra A chia hết cho 8 
Do đó A chia hết cho 8 với mọi n thuộc N 
* Nếu n chia hết cho 3 thì A chia hết cho 9. Nên A chia hết cho 72. 
* Nếu n không chia hết cho 3 thì n^2 là số chính phương nên chia 3 dư 1 (vì số chính phương chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1). 
Suy ra n^2 + 2 chia hết cho 3. Mà n (n – 1)(n + 1) là tích 3 số liên tiếp nên có số chia hết cho 3. Suy ra A chia hết cho 9. Do đó A chia hết cho 72. 
Vậy A chia hết cho 72 với mọi n thuộc N.

Chép hả Lý

Gọi d là USC của n+7 và 3n+22 nên

\(n+7⋮d\Rightarrow3\left(n+7\right)=3n+21⋮d\)

\(3n+22⋮d\)

\(\Rightarrow3n+22-\left(3n+21\right)=1⋮d\Rightarrow d=1\)

n+7 và 3n+22 có 1 ước chung duy nhất là 1 nên chúng nguyên tố cùng nhau

gọi chữ số tận cùng của 7ⁿ là:a

ta có:7ⁿ⁺⁴=7ⁿ.7⁴=(...a).2401=...a

=>đpcm

với n > 1,ta có:

M=3ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+3ⁿ-2ⁿ

=3ⁿ⁺²+3ⁿ-(2ⁿ⁺²+2ⁿ)

=3ⁿ.(3²+1)-2ⁿ(2²+1)

=3ⁿ.10-2ⁿ.5=3ⁿ.10-2^n-1.10

=10.(3ⁿ-2^n-1) chia hết cho 10 hay M tận cùng là 0(đpcm)

vì \(n\ge2\)nên \(2^n⋮4\)

\(\Rightarrow2^{2^n}\)có dạng là \(2^{4k}\left(k\in N^x\right)\)

Mà \(2^{4k}=16^k\)

Vì 1 số có tận cùng là 6 lũy thừa với số mũ khác 0 đều cho ta một số có tận cùng là 6

\(\Rightarrow2^{2^n}\)có tận cùng là 6 \(\Rightarrow2^{2^n}+1\)có tận cùng là 7 (đpcm)

Ta lun có 5^2^n tận cùng là 5 với mọi n^N và n >1

Do vậy 5^2^n+2=A5+2=A7. Vậy 5^2^n+2 tận cùng là 7

Vì n lớn hơn hoặc bằng 2

Nên n bằng 2 là bé nhất

Suy ra 2^{2 mũ n} = 2^{2 mũ 2} = 2⁴

Mà 2⁴ có tận cùng 6

Nên 2⁴ + 1 tận cùng 7

Với các trường hợp n lớn hơn 2 thì 2^{2 mũ n} đều tận cung 6 và 2^{2 mũ n} + 1 tận cùng 7 ( đpcm )