Nhân 2 vế của 2 ĐT đề bài ta có

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)=\frac{47}{10}\)

<=> \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}\right)+\left(\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}\right)+\left(\frac{c}{a+c}+\frac{a}{a+c}\right)=\frac{47}{10}\)

=>\(P=\frac{17}{10}\)

Vậy \(P=\frac{17}{10}\)

\(\frac{2a-b}{a+b}=\frac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow6a-3b=2a+2b\)

\(\Leftrightarrow6a-2a=2b+3b\)

\(\Leftrightarrow4a=5b\)

\(\frac{b-c+a}{2a-b}=\frac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow4a-2b=3b-3c+3a\)

\(\Leftrightarrow4a-3a=3b-3c+2b\)

\(\Leftrightarrow a=5b-3c\)

\(\Leftrightarrow a=4a-3c\)

\(\Leftrightarrow3a=3c\)

\(\Rightarrow a=c\)

\(\Rightarrow P=\frac{\left(4a+4a\right)^5}{\left(4a+4a\right)^2\left(a+3a\right)^3}=\frac{\left(8a\right)^5}{\left(8a\right)^2\left(4a\right)^3}=\frac{\left(8a\right)^3}{\left(4a\right)^3}=\frac{8^3}{4^3}=2^3=8\)

khó quá chịu

Mình mới học lớp 6 thui

\(\frac{a+b-c}{c}\)=\(\frac{b+c-a}{a}\)=\(\frac{c+a-b}{b}\)=\(\frac{a+b-c+b+c-a+c+a-b}{a+b+c}\)=\(\frac{a+b+c}{a+b+c}\)=1.Ta có\(\frac{a+b-c}{c}\)=1=>a+b-c=c

                                                                                                                                           =>a+b=2c

                                                                                                                           \(\frac{b+c-a}{a}\)=1=>b+c-a=a

                                                                                                                                              =>b+c=2a

                                                                                                                           \(\frac{c+a-b}{b}\)=1=>c+a-b=b

                                                                                                                                              =>c+a=2b

B=(1+\(\frac{b}{a}\))+(1+\(\frac{a}{c}\))+(1+\(\frac{c}{b}\))=(Quy đồng lên cộng như bình thường nha)\(\frac{a+b}{a}\).\(\frac{c+a}{c}\).\(\frac{b+c}{b}\)

(Thay từ cái trên kia kìa bạn ạ vào biểu thức thì ta có)                           =\(\frac{2a.2b.2c}{abc}\)

                                                                                                                      =\(\frac{8\left(abc\right)}{abc}\)

                                                                                                                      =8

bạn ơi hình như bạn chép sai đề phải là B= \(\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)\)mới đúng chứ bạn 

bạn ơi bài này bạn còn thiếu trường hợp a+b+c=0, nếu a+b+c= không thì đâu có áp dụng dãy tỉ số bằng nhau được đâu vì nếu thế thì a+b+c/a+b+c có mẫu bằng không vô lý

\(A=\left(b+c\right)^2+b^2+c^2=2b^2+2c^2+2bc=2\left(b^2+bc+c^2\right)\) (tự hiểu nhé)

Mà \(a^2=2\left(a+c+1\right)\left(a+b-1\right)=2a^2+2\left(ab+bc+ca\right)+2\left(b-c\right)-2\)

\(\Leftrightarrow a^2+2a\left(b+c\right)+2bc-2=0\) (*)

\(\Leftrightarrow2bc=2-a^2-2a\left(b+c\right)=2-\left(b+c\right)^2+2\left(b+c\right)^2\) (mấy cái này là từ a + b + c =0 suy ra a = -(b+c) suy ra a² = [-(b+c)]² = (b+c)² thôi!)

\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)^2-2bc=-2\)

hay c² + b² = -2?? hay là mình làm sai nhì?

\(a^2=2\left(a+c+1\right)\left(a+b-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)^2=\left(b-1\right)\left(c+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(b-1\right)^2+\left(c+1\right)^2=0\)

\(\Rightarrow a=0,b=1,c=-1\)

\(\Rightarrow A=2\)

Dòng số 2 bấm thiếu số 2 ở bên vế phải nha. B tự thêm số 2 vào nha. Còn lại thì không thay đổi gì nữa

Đặt \(x=1-a\), \(y=1-b\), \(z=1-c\)

Ta có :  \(1+a=\left(1-b\right)+\left(1-c\right)=y+z\) 

\(1+b=\left(1-a\right)+\left(1-c\right)=x+z\)

\(1+c=\left(1-a\right)+\left(1-b\right)=x+y\)

Áp dụng bđt Cauchy, ta có : \(A=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz}\ge\frac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}}{xyz}=\frac{8xyz}{xyz}=8\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

Vậy Min A = 8 \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

neu de bai bai 1 la tinh x+y thi mik lam cho

đăng từng này thì ai làm cho 

We have \(P=\frac{x^4+2x^2+2}{x^2+1}\)

\(\Rightarrow P=\frac{x^4+2x^2+1+1}{x^2+1}\)

\(=\frac{\left(x^2+1\right)^2+1}{x^2+1}\)

\(=\left(x^2+1\right)+\frac{1}{x^2+1}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+1}}=2\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=0\))

Vậy \(P_{min}=2\Leftrightarrow x=0\)

\(K=\frac{a^2}{c\left(a^2+c^2\right)}+\frac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}+\frac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}\left(a,b,c>0\right)\).

Ta có:

\(\frac{a^2}{c\left(a^2+c^2\right)}=\frac{\left(a^2+c^2\right)-c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}=\frac{a^2+c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}-\frac{c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\)\(=\frac{1}{c}-\frac{c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\).

Vì \(a,c>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:

\(a^2+c^2\ge2ac\).

\(\Leftrightarrow c\left(a^2+c^2\right)\ge2ac^2\).

\(\Rightarrow\frac{1}{c\left(a^2+c^2\right)}\le\frac{1}{2ac^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\le\frac{c^2}{2ac^2}=\frac{1}{2a}\).

\(\Leftrightarrow-\frac{c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\ge-\frac{1}{2a}\).

\(\Leftrightarrow\frac{1}{c}-\frac{c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{c}-\frac{1}{2a}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{c}-\frac{1}{2a}\left(1\right)\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=c>0\) .

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\frac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{a}-\frac{1}{2b}\left(a,b>0\right)\left(2\right)\) 

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b>0\)

Chứng minh tương tự, ta dược:

\(\frac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{b}-\frac{1}{2c}\left(b,c>0\right)\left(3\right)\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow b=c>0\).

Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\), ta được:

\(\frac{a^2}{c\left(a^2+c^2\right)}+\frac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}+\frac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}\ge\)\(\frac{1}{c}-\frac{1}{2a}+\frac{1}{a}-\frac{1}{2b}+\frac{1}{b}-\frac{1}{2c}\).

\(\Leftrightarrow K\ge\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\).

\(\Leftrightarrow K\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\).

\(\Leftrightarrow K\ge\frac{1}{2}\left(\frac{ab+bc+ca}{abc}\right)\).

Mà \(ab+bc+ca=3abc\)(theo đề bài).

Do đó \(K\ge\frac{1}{2}.\frac{3abc}{abc}\).

\(\Leftrightarrow K\ge\frac{3abc}{2abc}\).

\(\Leftrightarrow K\ge\frac{3}{2}\).

Dấu bằng xảy ra.

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c>0\\ab+bc+ca=3abc\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=1\).

Vậy \(minK=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\).