Cho các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a+b+c=200. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M= ab+bc+ca
giúp mk nhanh nhé :)))
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện \(a+b+c=1.\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(A=ab+bc+ca-3abc\)
Vào link này nha bn :https://olm.vn/hoi-dap/detail/80735647348.html
Học tốt !!!
Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a+b+c=1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = \(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\)
\(c+ab=\left(a+b+c\right)c+ab=ac+cb+c^2+ab=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
Tương tự : \(a+bc=\left(a+b\right)\left(a+c\right);c+ab=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)
\(P=\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}\)
áp dụng bất đẳng tức cauchy :
\(\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}\right)\)
\(\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)\)
\(\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{b+c}+\frac{a}{b+a}\right)\)
cộng vế theo vế
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{c+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{b+a}\right)\)
\(\Leftrightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a+c}{a+c}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{a+b}{a+b}\right)=\frac{1}{2}\cdot3=\frac{3}{2}\)
dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1/3
Có a+b+c=1 => c=(a+b+c).c=ac+bc+c2
\(\Rightarrow c+ab=ac+bc+c^2+ab=a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)=\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{\frac{a}{c+b}+\frac{b}{c+b}}{2}\)
Tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}a+bc=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\\b+ac=\left(b+a\right)\left(b+c\right)\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}=\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}}{2}\\\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}=\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}\le\frac{\frac{c}{b+c}+\frac{a}{b+a}}{2}\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}}{2}\)\(=\frac{\frac{a+c}{a+c}+\frac{c+b}{c+b}+\frac{a+b}{a+b}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a+b+c=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\)
tham khảo
https://olm.vn/hoi-dap/detail/106887527253.html
a) Cho (x+\(\sqrt{x^2+2011}\)).(y+\(\sqrt{y^2+2011}\))=2011.Tính x+y
b) Với a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện a+b+c=2 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q=\(\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2b+ca}+\sqrt{2c+ab}\)
b)
https://hoc24.vn/cau-hoi/c-voi-a-b-c-la-cac-so-duong-thoa-man-dieu-kien-a-b-c-2-tim-max-q-sqrt2abcsqrt2bcasqrt2cab.8298826302
Bạn có thể tham khảo ở đây. Đừng quên like giúp mik nha bạn. Thx
Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a+b+c = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(Q=\sqrt{2d+bc}+\sqrt{2b+ca}+\sqrt{2c+ab}\)
Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện:\(a+b+c=1\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:\(P=\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\)
Ta có: \(a+b+c=1\Leftrightarrow a^2+ab+ca=a\)
Thay vào ta có: \(\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}=\sqrt{\frac{bc}{a^2+ab+ca+bc}}=\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
Áp dụng Cauchy ngược: \(\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}=\sqrt{\frac{bc}{a^2+ab+ca+bc}}\le\frac{\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}}{2}\)
Tương tự ta CM được: \(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}\le\frac{\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}}{2}\)
\(\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\le\frac{\frac{c}{b+c}+\frac{a}{b+a}}{2}\)
Cộng vế 3 BĐT trên ta được:
\(P\le\frac{\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{b+a}}{2}\)
\(=\frac{\left(\frac{a}{c+a}+\frac{c}{a+c}\right)+\left(\frac{b}{c+b}+\frac{c}{b+c}\right)+\left(\frac{a}{b+a}+\frac{b}{a+b}\right)}{2}\)
\(=\frac{1+1+1}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vậy \(Max_P=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Ta có :
\(c+ab=\left(a+b+c\right)c+ab=ac+ac+c^2+ab=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
Tương tự : \(a+bc=\left(a+b\right)\left(a+c\right);c+ab=\left(c+b\right)\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow P=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
Áp dụng BĐT cauchy :
\(\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)\)
\(\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)\)
\(\sqrt{\frac{ca}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+b}+\frac{a}{c+a}\right)\)
Cộng vế với vế :
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{c+b}+\frac{a}{c+a}\right)\)
\(\Leftrightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a+c}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{a+b}{a+b}\right)=\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
có a+b+c=1 => c=(a+b+c).c=ac + bc + c2
=> c+ab=ac+bc+c2+ab=a(c+b)+c(b+c)=(c+a)(c+b)
=> \(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{\frac{a}{c+a}+\frac{b}{b+c}}{2}\)
tương tự có \(\hept{\begin{cases}a+bc=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\\b+ca=\left(b+c\right)\left(b+a\right)\end{cases}\Rightarrow\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}=\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}}{2}}\)và \(\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}=\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}\le\frac{\frac{c}{b+c}+\frac{a}{b+a}}{2}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{\frac{a}{c+a}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b}}{2}=\frac{\frac{a+c}{a+c}+\frac{c+b}{c+b}+\frac{b+a}{b+a}}{2}=\frac{3}{2}\)
dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
vậy maxP=\(\frac{3}{2}\)đạt được khi a=b=c=\(\frac{1}{3}\)
Cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn điều kiện: \(a+b+c=1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(B=ab+bc+ca-3abc\)
BĐT cuối cùng đâu có đúng, nhỡ \(a^2+b^2+c^2\le\frac{2}{3}\)
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện a+b+c=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(P=\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^3}+\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^3}+\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^3}\)
Ta đi chứng minh: \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^3}\le2b-a\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)
Một cách tương tự:\(\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^3}\le2c-b;\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\le2a-c\)
Cộng lại thì:
\(LHS\le a+b+c=3\)
Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1
Với a, b, c là cá số dương thỏa mãn điều kiện a+b+c=2
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q=\sqrt{2d+bc}+\sqrt{2b+ca}+\sqrt{2c+ab}\)