Ta có: \(x^2\left(y+z\right)\ge x^2.2\sqrt{yz}=2\sqrt{x^4}.\sqrt{\frac{1}{x}}=2x\sqrt{x}\)(Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương y,z và sử dụng giả thiết xyz = 1)

Hoàn toàn tương tự: \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)

Do đó \(P=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)

\(\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)

Đặt \(a=x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}\), \(b=y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}\), \(c=z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}\)

Suy ra: \(x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9}\), \(y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9}\), \(z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)

Do đó \(P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{c}+\frac{4b+c-2a}{a}\right)\)

\(=\frac{2}{9}\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\)

\(\ge\frac{2}{9}\left[4.3\sqrt[3]{\frac{c}{b}.\frac{a}{c}.\frac{b}{a}}+3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}-6\right]\)(Áp dụng BĐT Cô - si cho 3 số dương)

\(=\frac{2}{9}\left[4.3+3-6\right]=2\)

Vậy \(P\ge2\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

bạn vào trang này nhé có bài như thến này đấy 

//123doc.org//document/3173507-ren-luyen-chuyen-de-tim-maxmin-on-thi-thpt-quoc-gia.htm

tính diện tích hình vẽ dưới đây

\(1)\left( {4 + \sqrt {15} } \right)\left( {\sqrt {10} - \sqrt 6 } \right)\left( {\sqrt {4 - \sqrt {15} } } \right)\\ = \left( {4\sqrt {10} - 4\sqrt 6 + \sqrt {150} - \sqrt {90} } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \\ = \left( {4\sqrt {10} - 4\sqrt 6 + 5\sqrt 6 - 3\sqrt {10} } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \\ = \left( {\sqrt {10} + \sqrt 6 } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \\ = \sqrt {10\left( {4 - \sqrt {15} } \right)} + \sqrt {6\left( {4 - \sqrt {15} } \right)} \\ = \sqrt {40 - 10\sqrt {15} } + \sqrt {24 - 6\sqrt {15} } \\ = \sqrt {{{\left( {5 - \sqrt {15} } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt {15} } \right)}^2}} \\ = 5 - \sqrt {15} + \sqrt {15} - 3 = 2\)

2) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có

\(\dfrac{{{x^2}}}{{y + z}} + \dfrac{{y + z}}{4} \ge 2\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{{y + z}}.\dfrac{{y + z}}{4}} = x(1)\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\dfrac{{{y^2}}}{{z + x}} + \dfrac{{z + x}}{4} \ge y\left( 2 \right)\\ \dfrac{{{z^2}}}{{x + y}} + \dfrac{{x + y}}{4} \ge z\left( 3 \right) \)

Từ (1), (2), (3) ta có ngay:\(\left(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y+z}{4}\right)+ \left(\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z+x}{4}\right)+\left( \dfrac{z^2}{x+y} +\dfrac{x+y}{4}\right)\geqslant x+y+z\\ \iff\dfrac{x^2}{y+z}+ \dfrac{y^2}{z+x}+ \dfrac{z^2}{x+y}\geqslant \dfrac{x+y+z}{2} \)

Chú ý rằng \(x+y+z=2\), ta có ngay\(\dfrac{x^2}{y+z}+ \dfrac{y^2}{z+x}+ \dfrac{z^2}{x+y}\geqslant 1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $1$, đạt được khi $x=y=z=\dfrac{2}{3}$.

Haizzz bị lỗi công thức suốt :((

\(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeaacaGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaacaaIXa % GaaiykamaabmaabaGaaGinaiabgUcaRmaakaaabaGaaGymaiaaiwda % aSqabaaakiaawIcacaGLPaaadaqadaqaamaakaaabaGaaGymaiaaic % daaSqabaGccqGHsisldaGcaaqaaiaaiAdaaSqabaaakiaawIcacaGL % PaaadaqadaqaamaakaaabaGaaGinaiabgkHiTmaakaaabaGaaGymai % aaiwdaaSqabaaabeaaaOGaayjkaiaawMcaaaqaaiabg2da9maabmaa % baGaaGinamaakaaabaGaaGymaiaaicdaaSqabaGccqGHsislcaaI0a % WaaOaaaeaacaaI2aaaleqaaOGaey4kaSYaaOaaaeaacaaIXaGaaGyn % aiaaicdaaSqabaGccqGHsisldaGcaaqaaiaaiMdacaaIWaaaleqaaa % GccaGLOaGaayzkaaWaaOaaaeaacaaI0aGaeyOeI0YaaOaaaeaacaaI % XaGaaGynaaWcbeaaaeqaaaGcbaGaeyypa0ZaaeWaaeaacaaI0aWaaO % aaaeaacaaIXaGaaGimaaWcbeaakiabgkHiTiaaisdadaGcaaqaaiaa % iAdaaSqabaGccqGHRaWkcaaI1aWaaOaaaeaacaaI2aaaleqaaOGaey % OeI0IaaG4mamaakaaabaGaaGymaiaaicdaaSqabaaakiaawIcacaGL % PaaadaGcaaqaaiaaisdacqGHsisldaGcaaqaaiaaigdacaaI1aaale % qaaaqabaaakeaacqGH9aqpdaqadaqaamaakaaabaGaaGymaiaaicda % aSqabaGccqGHRaWkdaGcaaqaaiaaiAdaaSqabaaakiaawIcacaGLPa % aadaGcaaqaaiaaisdacqGHsisldaGcaaqaaiaaigdacaaI1aaaleqa % aaqabaaakeaacqGH9aqpdaGcaaqaaiaaigdacaaIWaWaaeWaaeaaca % aI0aGaeyOeI0YaaOaaaeaacaaIXaGaaGynaaWcbeaaaOGaayjkaiaa % wMcaaaWcbeaakiabgUcaRmaakaaabaGaaGOnamaabmaabaGaaGinai % abgkHiTmaakaaabaGaaGymaiaaiwdaaSqabaaakiaawIcacaGLPaaa 1)\left( {4 + \sqrt {15} } \right)\left( {\sqrt {10} - \sqrt 6 } \right)\left( {\sqrt {4 - \sqrt {15} } } \right)\\ = \left( {4\sqrt {10} - 4\sqrt 6 + \sqrt {150} - \sqrt {90} } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \\ = \left( {4\sqrt {10} - 4\sqrt 6 + 5\sqrt 6 - 3\sqrt {10} } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \\ = \left( {\sqrt {10} + \sqrt 6 } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \\ = \sqrt {10\left( {4 - \sqrt {15} } \right)} + \sqrt {6\left( {4 - \sqrt {15} } \right)} \\ = \sqrt {40 - 10\sqrt {15} } + \sqrt {24 - 6\sqrt {15} } \\ = \sqrt {{{\left( {5 - \sqrt {15} } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt {15} } \right)}^2}} \\ = 5 - \sqrt {15} + \sqrt {15} - 3 = 2 \)

2) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có

\begin{equation} \label{eq:1} \dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y+z}{4}\geqslant 2\sqrt{\dfrac{x^2}{y+z}\cdot \dfrac{y+z}{4}}=x \end{equation}

Hoàn toàn tương tự:

\begin{align} \label{eq:2} \dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z+x}{4}\geqslant y \\ \label{eq:3} \dfrac{z^2}{x+y}+\dfrac{x+y}{4}\geqslant z \end{align}

Từ \eqref{eq:1}, \eqref{eq:2}, \eqref{eq:3} ta có ngay

\[\left(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y+z}{4}\right)+ \left(\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z+x}{4}\right)+\left( \dfrac{z^2}{x+y} +\dfrac{x+y}{4}\right)\geqslant x+y+z\]

\[\iff\dfrac{x^2}{y+z}+ \dfrac{y^2}{z+x}+ \dfrac{z^2}{x+y}\geqslant \dfrac{x+y+z}{2}\]

Chú ý rằng $x+y+z=2$, ta có ngay

\[\dfrac{x^2}{y+z}+ \dfrac{y^2}{z+x}+ \dfrac{z^2}{x+y}\geqslant 1\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $1$, đạt được khi $x=y=z=\dfrac{2}{3}$.