a: Do AC > A'C' nên lấy được điểm C₁ trên cạnh AC sao cho AC₁=A′C′.

Ta có  ΔABC₁=ΔA'B'C'

Suy ra B′C′=BC1

Mặt khác hai đường xiên BC và BC₁ kẻ từ B đến đường thẳng AC lần lượt có hình chiếu trên AC là AC và AC₁.

Vì AC > AC1 nên BC > BC1.

Suy ra BC > B'C'.

b: 

-Giả sử AC<A'C'.

Khi đó theo chứng minh câu a) ta có BC < B'C'. Điều này không đúng với giả thiết BC > B'C'.

Giả sử AC=A'C'. Khi đó ta có ΔABC=ΔA'B'C' (c.g.c).

Suy ra BC=B'C'.

Điều này cũng không đúng với giả thiết BC>B'C'. Vậy ta phải có AC>A'C'.

+) Trong tam giác vuông A’B’C’ có \(\widehat{A'}=90^0\)

Áp dụng định lí Pi-ta-go, ta có:

=>

=> A’C’ =12 (cm)

Trong tam giác vuông ABC có \(\widehat{A}=90^0\)

Áp dụng định lí Pi-ta-go, ta có:

Suy ra: BC = 10 (cm)

Ta có: \(\dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)

\(\dfrac{A'C'}{AC}=\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2}\)

\(\dfrac{B'C'}{BC}=\dfrac{15}{10}=\dfrac{3}{2}\)

Suy ra: \(\dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{A'C'}{AC}=\dfrac{B'C'}{BC}=\dfrac{3}{2}\)

Vậy ∆ A’B’C’ đồng dạng với ∆ ABC

Do AC > A'C' nên lấy được điểm C1 trên cạnh AC sao cho AC1=A′C′. Ta có tam giác vuông ABC1 bằng tam giác vuông A'B'C', suy ra B′C′=BC1. Mặt khác hai đường xiên BC và BC1 kẻ từ B đến đường thẳng AC lần lượt có hình chiếu trên AC là AC và AC1. Vì AC > AC1 nên BC > BC1. Suy ra BC > B'C'.

Dùng phản chứng:

- Giả sử AC < A'C'. Khi đó theo chứng minh câu a) ta có BC < B'C'. Điều này không đúng với giả thiết BC > B'C'.

Giả sử AC = A'C'. Khi đó ta có ΔABC = ΔA'B'C' (c.g.c). Suy ra BC = B'C'.

Điều này cũng không đúng với giả thiết BC > B'C'. Vậy ta phải có AC > A'C'.

(Nếu sử dụng định lý Pytago thì có thể giải bài toán sau)

Trong tam giác vuông ABC có BC 2= AB 2+ AC 2 (1)

Trong tam giác vuông A'B'C' có B'C' 2= A'B' 2+ A'C' 2 (2)

Theo giả thiết AB = A'B' nên từ (1) và (2) ta có:

- Nếu AC > A'C' thì AC 2 > A'C' 2, suy ra BC 2 > B'C' 2 hay BC > B'C'

- Nếu BC > B'C' thì BC 2 > B'C' 2, suy ra AC 2 > A'C' 2 hay AC > A'C'.