x, y, z giống hay khác nhau, và là số nguyên hay số tự nhiên z bạn??

bài 1 : a,ta có 3/x-1 =4/y-2=5/z-3 =>  x-1/3=y-2/4=z-3/5 

áp dụng .... => x-1+y-2+z-3 / 3+4+5 = x+y+z-1-2-3/3+4+5 = 12/12=1

do x-1/3 = 1 => x-1 = 3 => x= 4 ( tìm y,z tương tự

Bài 1: 

a) Ta có: 3/x - 1 = 4/y - 2 = 5/z - 3 => x - 1/3 = y - 2/4 = z - 3/5 áp dụng ... =>x - 1 + y - 2 + z - 3/3 + 4 + 5 = x + y + z - 1 - 2 - 3/3 + 4 + 5 = 12/12 = 1 do x - 1/3 = 1 => x - 1 = 3 => x = 4 ( tìm y, z tương tự )

cũng dễ thôi

x(x+y+z) + y(x+y+z) + z(x+y+z) = 2 + 25 - 2 = 25 

=> ( x+ y+ z )(x+y+z) = 25 

=> x + y+ z = 5 hoặc x + y +z = -5 

(+) x + y +z = 5 => x.5 = 2 => x = 2/5 

                        => y.5=5 => y = 1 

                        => z.5 = -2 => z = -2/5 

(+) x+ y+ z = -5 => -5x = 2 => x= -2/5 (loại x > 0)

Vậy x = 2/5 ; y = 1 ; z = -2/5 

cộng 3 vế của đẳng thức , ta được :

x . ( x + y + z ) + y . ( x + y + z ) + z . ( x + y + z ) = 2 + 25 + ( -2 )

= ( x + y + z ) . ( x + y + z ) = 25

= ( x + y + z )² = 5²

\(\Rightarrow\)x + y + z = 5

\(\Rightarrow\)x = \(\frac{2}{5}\); y = 5 ; z = \(\frac{-2}{5}\)

Nếu x + y + z = -5 thì sao

\(P=\sum\dfrac{1}{x+y+1}\ge\dfrac{9}{2\left(x+y+z\right)+3}=\dfrac{9}{2.1+3}=\dfrac{9}{5}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

Giải : Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

      \(\frac{x}{y+z-5}=\frac{y}{x+z+3}=\frac{z}{x+y+2}=\frac{1}{2\left(x+y+z\right)}\)

     \(=\frac{x+y+z}{\left(y+z-5\right)+\left(x+z+3\right)+\left(x+y+3\right)}=\frac{x+y+z}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{2}\) (vì x + y + z \(\ne\)0)

==> \(\frac{1}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{2}\) => \(x+y+z=1\)

==> \(\frac{x}{y+z-5}=\frac{1}{2}\) => \(y+z-5=2x\) => \(x+y+z-5=3x\) => 1 - 5 = 3x => -4 = 3x => \(x=-\frac{4}{3}\)

==> \(\frac{y}{x+z+3}=\frac{1}{2}\) => \(x+z+3=2y\) => \(x+y+z+3=3y\) => \(1+3=3y\) => \(4=3y\)=> \(y=\frac{4}{3}\)

==>  \(\frac{z}{x+y+2}=\frac{1}{2}\) => 2z = x + y + 2 => 2z = -4/3 + 4/3 + 2 => 2z = 2 => z = 1

Vậy x,y,z thõa mãn là : \(-\frac{4}{3};\frac{4}{3};1\)

Edogawa Conan Thanks nhìu nha bạn

2. \(P=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}\) (BĐT Cauchy-Schwarz) 

\(=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow P_{min}=\dfrac{1}{2}\) khi \(\dfrac{x}{y+z}=\dfrac{y}{z+x}=\dfrac{z}{x+y}\Rightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

1, đặt \(x^2+x=t\)

=>\(A=t\left(t-4\right)=t^2-4t=t^2-4t+4-4\)

\(=>A=\left(t-2\right)^2-4\ge-4\) dấu"=' xảy ra\(t=2\)

\(=>x^2+x=2< =>x^2+x-2=0\)

\(< =>x^2+2.\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}-\dfrac{9}{4}=0\)

\(< =>\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=0< =>\left(x-1\right)\left(x+2\right)=0\)

\(=>\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\) vậy Amin=-4<=>\(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\)

B2

\(=>P=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y+z}{4}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{x+z}{4}+\dfrac{z^2}{x+y}+\dfrac{x+y}{4}\)

\(-\left(\dfrac{y+z+x+z+x+y}{4}\right)\)

áp dụng BDT AM-GM

\(=>\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\dfrac{x^2}{4}}=x^{ }\left(1\right)\)

\(\)tương tự \(=>\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{x+z}{4}\ge y\left(2\right)\)

\(=>\dfrac{z^2}{x+y}+\dfrac{x+y}{4}\ge z\left(3\right)\)

(1)(2)(3) \(=>P\ge x+y+z-\dfrac{1}{2}.x+y+z=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\)

dấu"=" xảy ra<=>x=y=z=1/3