1/y thành 1/x nhé

H = x² + 2y² + 1/x + 24/y

H = ( x² + 1 ) + 2 ( y² + 4 ) + 1/x + 24/y

H \(\ge\)2x + 8y + 1/x + 24/y = ( x + 1/x ) + ( 6y + 24y ) x + 2y - 9

\(\ge\)2 + 24 + 5 - 9 = 22

Dấu " = " xảy ra khi x = 1 ; y = 2

\(H=x^2+2y^2+\frac{1}{x}+\frac{24}{y}\)

\(\Leftrightarrow H=\left(\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}\right)+\left(\frac{3}{2}y^2+\frac{12}{y}+\frac{12}{y}\right)+\left(\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}y^2+2\right)-\frac{5}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(H\ge3.\sqrt[3]{\frac{1}{2}x^2.\frac{1}{2x}.\frac{1}{2x}}+3.\sqrt[3]{\frac{3}{2}y^2.\frac{12}{y}.\frac{12}{y}}+2.\sqrt{\frac{1}{2}x^2.\frac{1}{2}}+2.\sqrt{\frac{1}{2}y^2.2}-\frac{5}{2}=\frac{3}{2}+18+x+2y-\frac{5}{2}\ge22\)Dấu " = " xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}\)( tự giải nhé )

KL:....

Chứng minh BĐT phụ:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Giờ thì chứng minh thôi:3

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz dạng engel ta có:

\(P=\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{y}\right)^2\)

\(\ge\frac{\left(2x+\frac{1}{x}+2y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)

\(\ge\frac{\left(2x+2y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)

\(=\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{4}{1}\right]^2}{2}\)

\(=8\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy \(P_{min}=8\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Bài này bạn làm đúng rồi nhưng mà bạn bị nhầm phép tính: \(\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{4}{1}\right]^2}{2}=18\)

=> Min P=18

Bạn nên viết lại đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để mọi người hiểu đề của bạn hơn nhé.

\(A=\frac{x^2+4y^2-3y^2}{xy}\ge\frac{2\sqrt{x^2.4y^2}}{xy}-\frac{3y}{x}\)

do x lớn hơn bằng 2y nên \(-\frac{3y}{x}\ge-\frac{3}{2}\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=2y

Dự đoán điểm rơi x = 1;y = 2 và làm thôi:3

Ta có: \(G=\left(x^2+1\right)+\left(2y^2+8\right)+\frac{1}{x}+\frac{24}{y}-9\)

\(\ge2x+8y+\frac{1}{x}+\frac{24}{y}-9=\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(6y+\frac{24}{y}\right)+x+2y-9\)

\(\ge2\sqrt{x.\frac{1}{x}}+2\sqrt{6y.\frac{24}{y}}+x+2y\ge2+24+5-9=22\)

Dấu "=" xảy ra khi x = 1;y=2

Vậy \(G_{min}=22\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}\)

Tks nha  chế

Biết trước điểm rơi rồi thì quá EZ.

\(P=x+y+z+\frac{3}{x}+\frac{9}{2y}+\frac{4}{z}\)

\(=\left(\frac{3}{a}+\frac{3a}{4}\right)+\left(\frac{9}{2b}+\frac{b}{2}\right)+\left(\frac{4}{c}+\frac{c}{4}\right)+\left(\frac{a}{4}+\frac{b}{2}+\frac{3c}{4}\right)\)

\(\ge2\sqrt{\frac{3}{a}\cdot\frac{3a}{4}}+2\sqrt{\frac{9}{2b}\cdot\frac{b}{2}}+2\sqrt{\frac{4}{c}\cdot\frac{c}{4}}+\frac{a+2b+3c}{4}\)

\(\ge13\)

Dấu "=" xảy ra tại a=2;b=3;c=4