cái này mik chịu, mik mới có lớp 7

1. Ta có \(\left(b-a\right)\left(b+a\right)=p^2\)

Mà b+a>b-a ; p là số nguyên tố 

=> \(\hept{\begin{cases}b+a=p^2\\b-a=1\end{cases}}\)

=> \(\hept{\begin{cases}b=\frac{p^2+1}{2}\\a=\frac{p^2-1}{2}\end{cases}}\)

Nhận xét :+Số chính phương chia 8 luôn dư 0 hoặc 1 hoặc 4

Mà p là số nguyên tố 

=> \(p^2\)chia 8 dư 1

=> \(\frac{p^2-1}{2}⋮4\)=> \(a⋮4\)(1)

+Số chính phương chia 3 luôn dư 0 hoặc 1

Mà p là số nguyên tố lớn hơn 3

=> \(p^2\)chia 3 dư 1

=> \(\frac{p^2-1}{2}⋮3\)=> \(a⋮3\)(2)

Từ (1);(2)=> \(a⋮12\)

Ta có \(2\left(p+a+1\right)=2\left(p+\frac{p^2-1}{2}+1\right)=p^2+1+2p=\left(p+1\right)^2\)là số chính phương(ĐPCM)

2,     \(T=\frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-xz}+\frac{z}{1-xy}\)

Áp dụng cosi ta có \(yz\le\frac{y^2+z^2}{2}\)

=> \(\frac{x}{1-yz}\le\frac{x}{1-\frac{y^2+z^2}{2}}=\frac{2x}{2-y^2-z^2}=\frac{2x}{1+x^2}\)

Lại có \(x^2+\frac{1}{3}\ge2x\sqrt{\frac{1}{3}}\)

=> \(\frac{x}{1-yz}\le\frac{2x}{\frac{2}{3}+2x\sqrt{\frac{1}{3}}}=\frac{x}{\frac{1}{3}+x\sqrt{\frac{1}{3}}}\le\frac{x.1}{4}\left(\frac{1}{\frac{1}{3}}+\frac{1}{x\sqrt{\frac{1}{3}}}\right)=\frac{1}{4}.\left(3x+\sqrt{3}\right)\)

Khi đó \(T\le\frac{1}{4}.\left(3x+3y+3z+3\sqrt{3}\right)\)

Mà \(x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\sqrt{3}\)

=> \(T\le\frac{6\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

Vậy \(MaxT=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Tham khảo tại đây: Câu hỏi của dbrby - Toán lớp 10 | Học trực tuyến

a, Từ x+y=1

=>x=1-y

Ta có: \(x^3+y^3=\left(1-y\right)^3+y^3=1-3y+3y^2-y^3+y^3\)

\(=3y^2-3y+1=3\left(y^2-y+\frac{1}{3}\right)=3\left(y^2-2.y.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right)\)

\(=3\left[\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{12}\right]=3\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\) với mọi y

=>GTNN của x³+y³ là 1/4

Dấu "=" xảy ra \(< =>\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=0< =>y=\frac{1}{2}< =>x=y=\frac{1}{2}\) (vì x=1-y)

Vậy .......................................

b) Ta có: \(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{y+x}\)

\(=\left(\frac{x^2}{y+z}+x\right)+\left(\frac{y^2}{z+x}+y\right)+\left(\frac{z^2}{y+z}+z\right)-\left(x+y+z\right)\)

\(=\frac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{z+x}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{y+z}-\left(x+y+z\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{y+x}-1\right)\)

Đặt \(A=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{y+x}\)

\(A=\left(\frac{x}{y+z}+1\right)+\left(\frac{y}{z+x}+1\right)+\left(\frac{z}{y+x}+1\right)-3\)

\(=\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}+\frac{x+y+z}{y+x}-3\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+x}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)-3\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\right]\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)-3\ge\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}\)

(phần này nhân phá ngoặc rồi dùng biến đổi tương đương)

\(=>P=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{y+x}-1\right)\ge2\left(\frac{3}{2}-1\right)=1\)

=>minP=1

Dấu "=" xảy ra <=>x=y=z

Vậy.....................

1) Vì a, b là số nguyên tố và a - 1 chia hết cho b nên a là số nguyên tố lẻ >=3 và b =2( vì a -1 chẵn)

b³ - 1 = 7 chia hết cho a, nên a =7. Vậy a = b² + b + 1( 7 = 2² + 2 + 1)

cũng bằng 3

Ta coˊ :xy+x+1x​+yz+y+1y​+xz+z+1z​

=���+�+1+�����+��+�+����2��+���+��=xy+x+1x​+xyz+xy+xxy​+x2yz+xyz+xyxyz​

=���+�+1+����+�+1+1��+�+1(Vıˋ ���=1)=xy+x+1x​+xy+x+1xy​+xy+x+11​(Vıˋ xyz=1)

=�+��+1��+�+1=xy+x+1x+xy+1​

$=1$