Lần lượt vẽ H, K đối xứng với E, F qua AC, BC.

+) AC là đường trung trực của đoạn thẳng EH nên \(\widehat{HCE}=2\widehat{ACE}\)(*)

+) BC là đường trung trực của đoạn thẳng FK nên \(\widehat{FCK}=2\widehat{BCF}\)(**)

A thuộc đường trung trực của IE và EH nên AI = AE = AH

Suy ra tam giác AIH cân tại A mà AD là phân giác của góc A nên AD là trung trực của IH, do đó FI = FH (1)

Xét \(\Delta FBI\)và \(\Delta KBE\)có:

    BF = BK (B thuộc đường trung trực của FK)

    \(\widehat{IBF}=\widehat{EBK}\)(do \(\widehat{ABE}=\widehat{CBF}\Rightarrow\widehat{IBE}=\widehat{KBF}\Rightarrow\widehat{IBF}=\widehat{EBK}\))

   BI = BE (B thuộc đường trung trực của IE)

Do đó \(\Delta FBI\)\(=\Delta KBE\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow EK=FI\)(hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra EK = FH

Xét \(\Delta KCE\)và \(\Delta FCH\)có:

    EC = HC (C thuộc đường trung trực của EH)

   KE = FH (cmt)

   CK = CF (C thuộc đường trung trực của FK)

Do đó \(\Delta KCE\)\(=\Delta FCH\left(c-c-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ECK}=\widehat{HCF}\)(hai góc tương ứng)

\(\Rightarrow\widehat{ECH}=\widehat{KCF}\)(***)

Từ (*), (**), (***) suy ra \(\widehat{ACE}=\widehat{BCF}\left(đpcm\right)\)

Gọi G là giao điểm 3 phân giác của tg ABC => BG là phân giác góc EBF, 
và CG là phân giác góc ACB * 
góc ABE = góc FBD = α 
1. α = (góc ABC) / 2 
=> E, F trùng với G => góc ACE = FCD 
2. α < (góc ABC) / 2 
AE / FD = S(BAE) / S(BFD) (2 tg cùng đường cao) = (AB*BE*sinα / 2) / (BF*BD*sinα / 2) = 
= (AB / BD)*(BE / BF) = (AG / GD)*(BE / BF) ( tính chất đường phân giác) 
= (AG / GD)*(EG / GF) (do * - tính chất đường phân giác) *** 

AE / FD = S(CAE) / S(CFD) (2 tg cùng đường cao) = 
(AC*CE*sin(ACE) / 2) / (CF*CD*sin(FCD) / 2) = (AC / CD)*(CE / CF)*(sin(ACE) / sin(FCD)) = 
(AG / GD)*(CE / CF)*(sin(ACE) / sin(FCD)) (do * - tính chất đường phân giác) **** 
từ ***, **** => (CE / CF)*(sin(ACE) / sin(FCD)) = EG / GF 

Giả sử góc (ACE) > góc (FCD) => sin(ACE) / sin(FCD) > 1 => CE / CF < EG / GF ***** 
Mặt khác góc ECG = (góc ACB) / 2 - góc (ACE) < (góc ACB) / 2 - góc (FCD) = góc GCF 
nên nếu ta kẻ phân giác CG' của góc ECF thì G' nằm trong đoạn GF. Theo đl đường 
phân giác có CE / CF = EG' / FG' > EG / FG' > EG / GF, mâu thuẫn với ***** 
=> không thể có góc (ACE) > góc (FCD) 
tương tự không thể có góc (ACE) < góc (FCD) 
=> góc (ACE) = góc (FCD) 
3. α > (góc ABC) / 2 
=> góc ABF = góc EBD => từ phần 2 có góc ACF = góc ECD 
=> góc ACE = góc FCD 

bài này có trong sách nâng cao và phát triển 7 nha ba ba ba

*Bài này có nhiều cách làm, mỗi cách có 1 mình khác nhau. OLM đang lỗi nên không vẽ được hình. Bạn thông cảm*

Ta có: \(\widehat{EIC}=\widehat{EAC}\) nên \(\Delta\)ABF~\(\Delta\)IBC

\(\Rightarrow\frac{BF}{BA}=\frac{BC}{BI}\) hay \(\frac{BF}{BC}=\frac{BA}{BI}\)

Lại có \(\widehat{ABE}=\widehat{CBF}\) nên \(\Delta\)ABI~\(\Delta\)FBC

Vậy \(\widehat{ACE}=\widehat{EIA}=\widehat{ACE}\)

Ta có \(\Delta AIH\) cân, AD là đường phân giác nên AD là đường trung trực đoạn IH

=> FI=FH (1)

\(\Delta FBI=\Delta KBE\left(cgc\right)\) nên FI=KE(2)

Từ (1) (2) => KE=FH

\(\Delta CEK=\Delta CHF\left(ccc\right)\)

=> \(\widehat{HCF}=\widehat{ECK}\) hay \(\widehat{ACE}=\widehat{BCF}\)

Ta có: \(\frac{S_{ACE}}{S_{DCF}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot AC\cdot CE\cdot\sin\beta}{\frac{1}{2}\cdot DC\cdot CF\cdot\sin\gamma}\left(3\right)\)

Mà \(\frac{S_{ACE}}{S_{DCF}}=\frac{S_{ABE}}{S_{DBF}}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot BE\cdot\sin\alpha}{\frac{1}{2}BD\cdot BF\cdot\sin\alpha}\left(4\right)\)

Từ (3) (4) => \(\frac{AC}{CD}\cdot\frac{CE}{CF}=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}=\frac{AB}{BD}\cdot\frac{BE}{BF}\)

Mặt khác \(\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BD};\frac{CE}{CF}=\frac{BE}{BF}\left(E;F\in AD\right)\)

Vậy \(\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}=1\Rightarrow\widehat{ACE}=\widehat{BCF}\left(\beta+\gamma=180^o\right)\)

tia phân giác góc BAC cắt thế nào nổi AC :))

TỚ ĐÃ SỬA CÂU HỎI RỒI