Ez to prove \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow\frac{6054}{3}\ge ab+bc+ca\Leftrightarrow ab+ca+bc\le2018\)

Khi đó: \(\frac{2a}{\sqrt{a^2+2018}}\le\frac{2a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\frac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

\(P\le\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}=3\)

Bài 2 xét x=0 => A =0

xét x>0 thì \(A=\frac{1}{x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}}\)

để A nguyên thì \(x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}\inƯ\left(1\right)\)

=>cho \(x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}\)bằng 1 và -1 rồi giải ra =>x=?

1,Ta có \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}\)

=> \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=2\)

\(a+2=a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\)

\(b+2=\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)\)

\(c+2=\left(\sqrt{c}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\)

=> \(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+\frac{\sqrt{b}}{b+2}+\frac{\sqrt{c}}{c+2}=\frac{\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}+\frac{\sqrt{b}}{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)}+...\)

=> \(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+...=\frac{2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}=\frac{4}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)

=> M=0

Vậy M=0 

Ta có \(\sqrt{x}+\sqrt{y-2}=2\)=> \(\left(\sqrt{x}-1\right)+\left(\sqrt{y-2}-1\right)=0\)

                                                          => \(\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}+\frac{y-3}{\sqrt{y-2}+1}=0\left(1\right)\)

=>Tương tự với các PT còn lại

\(\frac{y-3}{\sqrt{y+1}+2}+\frac{z-4}{\sqrt{z-3}+1}=0\left(2\right)\)

\(\frac{z-4}{\sqrt{z+5}+3}+\frac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}=0\left(3\right)\)

Ta thấy \(x=1;y=3;z=4\)là nghiệm của 3 PT

Với \(x\ne1;y\ne3;z\ne4\)

Theo nguyên lí diricle ta luôn có : 

trong 3 số x-1;y-3;z-4 luôn có 2 số cùng dấu 

=> 2 trong 3 PT trên vô nghiệm 

Vậy x=1;y=3;z=4

nhờ bạn gửi câu hỏi đúng lúc mà mình đỡ phải gửi

Ta có: 

\(P=\frac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{x-2018}+\sqrt{y-2018}}\)

\(\Leftrightarrow P^2=\frac{x+y}{x+y-4036+2\sqrt{\left(x-2018\right)\left(y-2018\right)}}\)

\(=\frac{x+y}{x+y-4036+2\sqrt{xy-2018x-2018y+2018^2}}\)

Mặt khác : 

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2018}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{2018}\)

\(\Leftrightarrow2018x+2018y=xy\)

\(\Leftrightarrow xy-2018x-2018y=0\)(1)

Thế (1) vào P^2 ta có : 

\(P^2=\frac{x+y}{x+y-4036+2\sqrt{2018^2}}=\frac{x+y}{x+y}=1\)

\(\Rightarrow P=.......\)

Tuogw tựCâu hỏi của Nue nguyen - Toán lớp 10 | Học trực tuyến

1/x + 1/y = 1/2018

<=> 1/x = 1/2018 - 1/y = (y - 2018)/(2018y) 

<=> x = 2018y/(y - 2018) 

=> x + y = 2018y/(y - 2018) + y = y^2/(y - 2018) 

=> x - 2018 = 2018y/(y - 2018) - 2018 = 2018^2/(y - 2018) 

=> P = 1