Gọi d = (5n + 3 ; 3n + 2) (d thuộc N) 
=> (5n + 3) chia hết cho d và (3n + 2) chia hết cho d 
=> 5.(3n + 2) - 3.(5n + 3) chia hết cho d 
=> 1 chia hết cho d 
=> d = 1 (vì d thuộc N) 
=> ƯCLN(5n + 3 ; 3n + 2) = 1 
=> Phân số 5n+3/3n+2 tối giản với mọi n thuộc N

gọi UCLN(5n+3; 3n+2)=d khi đó 5n+3 chia hết cho d suy ra 15n+9 chia hết cho d (1)

3n+2 chia hết cho d nên 15n + 10 cũng chia hết cho d (2)   ( dử dụng tính chất a chia hết cho m thì a.n cũng chia hết cho m)

từ 1 và 2 suy ra (15n+10)-(15n+9) chia hết cho d hay 1 chia hết cho d ( tính chất chia hết của 1 tổng- hiệu). vậy d=1

vậy UCLN(5n+3; 3n+2)=1 hay phân số trên tối giản

lưu ý: để chứng minh 1 phân số tối giản ta chứng minh UCLN của tử và mẫu bằng 1. còn trong tập Z ta cm UCLN = +-1

De \(\frac{5n+3}{3n+2}\)la phan so toi gian (n thuoc N)

thi 5n+3 chia het 3n+2

suy ra 3n+2 chia het 3n+2 suy ra 15n+10 chia het 3n+2

va 5n+3 chia het 3n+2 suy ra 15n+9 chia het 3n+2

suy ra ( 15n+10 - 15n+9 ) chia het 3n+2

suy ra 1 chia het 3n+2

suy ra 3n+2 thuoc uoc cua 1 la 1 ,-1

vi n thuoc N nen 3n+2=1 

suy ra 3n=1-2

suy ra n=-1/3( loai)

vay x thuoc rong

a: Gọi d=ƯCLN(15n+1;30n+1)

=>30n+2-30n-1 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>Đây là phân số tối giản

b: Gọi d=ƯCLN(3n+2;5n+3)

=>15n+10-15n-9 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>Phân số tối giản

Với n chẵn ta thấy tử số phân số trên chẵn

Mà mẫu số lẻ

Nên hiển nhiên phân số trên tối giản

Với n lẻ, làm tương tự
 

thế VD là phân số \(\frac{6}{9}\)thì cx tối giản à bn ? 

Gọi d là \(UCLN\left(3n+2;5n+3\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3n+2\\5n+3\end{cases}⋮d}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(3n+2\right)\\3\left(5n+3\right)\end{cases}⋮d\rightarrow\hept{\begin{cases}15n+10\\15n+9\end{cases}⋮}d}\)

\(\Rightarrow15n+10-\left(15n+9\right)⋮d\)

=>\(1⋮d\Rightarrow d=1\)

=>p/s trên tối giản với mọi số tự nhiên n

Vậy....

Có gì chưa rõ mong mn chỉ bào thêm ạ

5n/8n

gọi d là Ưc(3n+2; 5n+3)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{3n+2}{5n+3}\)=\(\frac{15n+10}{15n+9}\)

\(\Rightarrow\)d\(⋮\)1\(\Rightarrow\)d=1

vậy \(\frac{3n+2}{5n+3}\)tối giản với  mọi số tự nhiên n

Ta có \(\frac{3n+2}{5n+3}\) là phân số tối giản

\(\Rightarrow\) ƯCLN (3n+2; 5n+3) = 1.

Gọi ƯCLN (3n+2; 5n+3) là d.

\(\Rightarrow\) 3n+2 \(⋮\)d    ;      5n+3 \(⋮\)d

\(\Rightarrow\) 5.(3n+2) \(⋮\)d    ;     3.(5n+3) \(⋮\)d

\(\Rightarrow\) 15n+10 \(⋮\)d    ; 15n+9 \(⋮\)d

\(\Rightarrow\) (15n+10)-(15n+9) \(⋮\)d

\(\Rightarrow\) 15n+10-15n-9 \(⋮\)d

\(\Rightarrow\) 1 \(⋮\)d

\(\Rightarrow\) d = 1.

       Vậy ƯCLN (3n+2; 5n+3) = 1 \(\Leftrightarrow\)\(\frac{3n+2}{5n+3}\)tối giản.

_Chúc bạn học tốt_

Ta có : \(\frac{3n}{3n+1}\) với \(n\inℕ\)

Mà 3n và 3n+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp

Vì 2 số tự nhiên liên tiếp có ƯCLN là 1

\(\Rightarrow\)ƯCLN(3n, 3n+1)=1 nên phân số \(\frac{3n}{3n+1}\)tối giản(đpcm)

Bạn cũng có chứng minh bằng cách tìm ƯCLN(3n,3n+1)=1 nhé!