∆ABC có M là trung điểm của BC.
Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA.
Ta có:
ےAMB = ےNMC (đối đỉnh)
BM = CM (giả thiết)
MA = MN (dựng hình)
Suy ra: ∆MAB = ∆MNC (c.g.c)
Suy ra: NC = AB và ےMBA = ےMCN
Do ےMBA = ےMCN nên AB // NC
Suy ra ےBAC + ےACN = 180
Ta có: ےBAC = 90 nên ےACN = 90
=> ∆ABC = ∆CNA (c.g.c) vì AC là cạnh chung
AB = NC (cmt) và ےBAC = ےACN = 90
=> AN = BC
=> AM = \(\frac{1}{2}BC\)

=>CMT

Ta có: tam giác ABC vuông tại A,M là trung điểm của BC (gt) => AM là đg trung tuyến ứng vs cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC

=>AM = 1/2 BC ( trong tam giác vuông, đg trung tuyến ứng vs cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền )

Vậy....

vẽ thêm MD song song AH

MH song song AD

Xét tam giác MDA và tam giác AHM có

Góc A1 = góc M2 (so le trong)

Góc A2 = góc M1 ( so le trong)

AM là cạnh chung

\(\Rightarrow\)Tam giác MDA = tam giác AHM (g.c.g)

\(\Rightarrow\)MD = AH (2 cạnh tương ứng)

Xét tam giác MBD và tam giác CMH có

Góc BMD = góc MCH (đồng vị)

Góc D1 = góc H2 (=90)

BM = MC (giả thiết)

\(\Rightarrow\)Tam giác MBD = tam giác CMH (cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow\)BD = MH ( 2 cạnh tương ứng)

Xét tam giác BDM và tam giác MHA có

MD = AH ( cmt)

Góc D2 = góc H1 (=90)

BD = MH (cmt)

\(\Rightarrow\)tam giác MBD = tam giác MAH ( c.g.c)

\(\Rightarrow\)BM = AM (2 cạnh tương ứng)

Vì BM = MC và AM = BM

\(\Rightarrow\)AM = MC

Mà BC = BM + MC

\(\Rightarrow\)BC = 2*AM

\(\Rightarrow\)AM = \(\frac{1}{2}\cdot BC\)

Vậy AM = \(\frac{1}{2}\cdot BC\)

a) ∆ABC vuông tại A

M là trung điểm BC

⇒ AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

⇒ AM = BM = CM = BC : 2

b) ∆ABC vuông tại A có ∠C = 30⁰

⇒ ∠B = 90⁰ - 30⁰ = 60⁰

Do AM = BM (cmt)

⇒ ∆ABM cân tại M

Lại có ∠ABM = ∠B = 60⁰

⇒ ∆ABM đều

⇒ AB = AM = BM = BC : 2

a) Chứng minh tam giac AMB = tam giac DMC

Xét tam giác MAB và tam giác MDC, có

- MA = MD (M là trung điểm AD)

- MB = MD (M là trung điểm BD) 

- Góc M đối nhau

=> tam giác MAB = tam giác MDC (cạnh - góc - cạnh)  (đpcm)

b) Chứng minh DC vuông góc AC

Ta có góc BAC = 90 độ (tam giác ABC vuông tại A)

=> góc A1 + góc A2 = 90 độ

mà góc A1 = góc CDA (do tam giác MAB = tam giác MDC chứng minh trên)

=> góc ADC + góc A2 = 90 độ

Xét tam giác CAD,

có: góc ACD = 180 độ - (góc ADC + góc A2) = 180 độ - 90 độ = 90 độ

=> góc ACD = 90 độ

=> tam giác DAC vuông tại C

Ta có DC vuông góc AC tại C

và BA vuông góc AC tại A

=> BA // DC (đpcm)

c) AM = 1/2BC

Câu này áp dụng định lý: trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền => AM = 1/2 BC (đpcm)

Còn nếu yêu cầu phải trình bày cách làm, thì bạn làm như phía dưới:

Xét tứ giác ABDC có:

- BA = CD (do tam giác MAB = tam gia MDC (chứng minh trên)

- DC // BA

=> tứ giác ABDC là hình bình hành

và có góc A vuông

=> tứ giác ABDC là hình chữ nhật

=> 2 đường chéo của hình chữ nhật là AD = BC

mà M là trung điểm của AD và BC

=> AM = 1/2 BC (đpcm)

Trên tia đối của tia MA, lấy điểm D sao cho MA=MD

Xét tứ giác ACDB có 

M là trung điểm của đường chéo BC

M là trung điểm của đường chéo AD

Do đó: ACDB là hình bình hành

Hình bình hành ACDB có \(\widehat{CAB}=90^0\)

nên ACDB là hình chữ nhật

Suy ra: BC=AD

mà \(AM=\dfrac{1}{2}AD\)

nên \(AM=\dfrac{1}{2}BC\)

áp dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông

=> AN=1/2BC