2: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔMHN vuông tại H có HD là đường cao ứng với cạnh huyền MN, ta được:

\(MD\cdot MN=MH^2\left(1\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔMHP vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền MP, ta được:

\(ME\cdot MP=MH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(MD\cdot MN=ME\cdot MP\)

a) Xét (O) có 

ΔNDP nội tiếp đường tròn(N,D,P∈(O))

NP là đường kính của (O)(gt)

Do đó: ΔNDP vuông tại D(Định lí)

⇒ND⊥DP tại D

hay ND⊥MP(đpcm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔNMP vuông tại N có ND là đường cao ứng với cạnh huyền MP, ta được: 

MN2=MD⋅MPMN2=MD⋅MP(đpcm)

b) Vì N,E∈(O) và N,O,E không thẳng hàng

nên NE là dây của (O)

Xét (O) có 

OM là một phần đường kính

NE là dây(cmt)

OM⊥NE tại H(gt)

Do đó: H là trung điểm của NE(Định lí đường kính vuông góc với dây)(đpcm)

a: Xét ΔHNM vuông tại H và ΔMNP vuôg tại M có

góc N chung

=>ΔHNM đồng dạng với ΔMNP

b: NP=căn 3^2+4^2=5cm

MH=3*4/5=2,4cm

NH=3^2/5=1,8cm

c; Đề bài yêu cầu gì?

a: Xét tứ giác MDHE có

\(\widehat{MDH}=\widehat{MEH}=\widehat{EMD}=90^0\)

=>MDHE là hình chữ nhật

b: MDHE là hình chữ nhật

=>MH cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của MH

nên O là trung điểm của DE

=>DO=OE

c: ΔHDN vuông tại D

mà DI là đường trung tuyến

nên DI=HI=IN

=>ΔIHD cân tại I

ΔPEH vuông tại E

mà EK là đường trung tuyến

nên EK=KP=KH

=>ΔKEH cân tại K

\(\widehat{KED}=\widehat{KEH}+\widehat{DEH}\)

\(=\widehat{KHE}+\widehat{HMD}\)

\(=\widehat{HMD}+\widehat{HND}=90^0\)

=>KE vuông góc ED(1)

\(\widehat{IDE}=\widehat{IDH}+\widehat{EDH}\)

\(=\widehat{IHD}+\widehat{EMH}\)

\(=\widehat{HPM}+\widehat{HMP}=90^0\)

=>ID vuông góc DE(2)

Từ (1) và (2) suy ra DI//EK

Xét tứ giác MIHK ta có M ^ = I ^ = K ^ = 90 0

=> MIHK là hình chữ nhật (dhnb)

=> HI = ML = 6cm

Áp dụng định lý Pytago cho MHK vuông tại K ta có:

Áp dụng hệ thức lượng trong MHP vuông tại H có đường cao HI ta có:

Áp dụng định lý Pytago cho MNP vuông tại N ta có:

Đáp án cần chọn là: B

a: Xét ΔMNP vuông tại M có MH là đường cao

nên \(NH\cdot PH=MH^2\left(1\right)\)

Xét ΔNHM vuông tại H có HE là đường cao

nên \(ME\cdot MN=MH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(NH\cdot PH=ME\cdot MN\)

b: Xét ΔMNP vuông tại M có MH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}MP^2=PH\cdot PN\\NM^2=NH\cdot NP\end{matrix}\right.\)

=>\(\dfrac{PH\cdot PN}{NH\cdot NP}=\dfrac{MP^2}{MN^2}\)

=>\(\dfrac{NH}{PH}=\left(\dfrac{MN}{MP}\right)^2\)

c: ΔMHP vuông tại H có HF là đường cao

nên \(MF\cdot MP=MH^2\)

mà \(ME\cdot MN=MH^2\)

nên \(MF\cdot MP=ME\cdot MN\)

=>\(\dfrac{MF}{ME}=\dfrac{MN}{MP}\)

Xét ΔMFN vuông tại M và ΔMEP vuông tại M có

\(\dfrac{MF}{ME}=\dfrac{MN}{MP}\)

Do đó: ΔMFN đồng dạng với ΔMEP

=>\(\widehat{MNF}=\widehat{MPE}\)

a: \(NP=\sqrt{MN^2+MP^2}=10\left(cm\right)\)

b: Xét ΔMNP vuông tại M có MH là đường cao

nên MH*NP=MN*MP

=>MH*10=6*8=48

=>MH=4,8cm

Xét ΔMNP có MD là phân giác

nên \(MD=\dfrac{2\cdot6\cdot8}{6+8}\cdot cos45=\dfrac{24}{7}\sqrt{2}\left(cm\right)\)

c: MN*sinP+MP*sinN

=MN*MN/NP+MP*MP/NP

=(MN^2+MP^2)/NP

=NP^2/NP

=NP