ta sẽ chứng minh với \(a\in Q\) thì \(A=\sqrt{1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\left(a+1\right)^2}}\) là số hữ tỉ 

ta có \(M=\frac{1}{1}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\left(a+1\right)^2}=\frac{1}{1}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\left(a+1\right)^2}+\frac{2}{a}-\frac{2}{a+1}-\frac{2}{a\left(a+1\right)}-\frac{2}{a}+\frac{2}{a+1}+\frac{2}{a\left(a+1\right)}\)

\(=\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}\right)^2+2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a\left(a+1\right)}-\frac{1}{a+1}\right)\)

\(=\left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{a+1}\right)^2+2\left(\frac{1+a-\left(a+1\right)}{a\left(a+1\right).1}\right)=\left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{a+1}\right)^2\)

=> \(\sqrt{M}=\left|1+\frac{1}{a}+\frac{1}{a+1}\right|\) là số hữu tỉ 

=> A lá số hữ tỉ 

Áp dụng thì ta có mỗi phân thức là số hữ tỉ nên tổng của nó là sô hưux tỉ

Xét : \(\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}+1\right)^2=\frac{1}{k^2}+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+1+2\left(-\frac{1}{k\left(k-1\right)}-\frac{1}{k}+\frac{1}{k-1}\right)\)

\(=\frac{1}{k^2}+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+1\)

\(\Rightarrow\sqrt{1+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}}=\left|\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}+1\right|\)với k thuộc N* , k > 1

Áp dụng : \(\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+...+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{1999^2}+\frac{1}{2000^2}}\)

\(=\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+...+\left(1+\frac{1}{1999}-\frac{1}{2000}\right)\)

\(=1998+\frac{1}{2}+-\frac{1}{2000}\)

Với a , b , c là số hữu tỉ t/m a = b + c ta luôn có \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\left|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right|\in Q\)

Thật vậy : \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2-2\left(\frac{1}{bc}-\frac{1}{ac}-\frac{1}{ab}\right)}\)

                                                       \(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2-\frac{2.abc\left(a-b-c\right)}{a^2b^2c^2}}\)(quy đồng lên )

                                                         \(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2}\left(\text{do a-b-c=0}\right)\)

                                                          \(=\left|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right|\in Q\)

Áp dụng ta được \(A=\left|\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-1\right|+\left|\frac{1}{4}-\frac{1}{3}-1\right|+...+\left|\frac{1}{2000}-\frac{1}{1999}-1\right|\)là số hữu tỉ

Vậy A là số hữu tỉ

Đặt \(P=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)

Do x,y,z là các số thực dương nên ta biến đổi \(P=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{y^2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)

Đặt \(a=\frac{1}{x^2};b=\frac{1}{y^2};c=\frac{1}{z^2}\left(a,b,c>0\right)\)thì \(xy+yz+zx=\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}=1\)và \(P=\frac{1}{\sqrt{1+a}}+\frac{1}{\sqrt{1+b}}+\frac{1}{\sqrt{1+c}}+a+b+c\)

Biến đổi biểu thức P=\(\left(\frac{1}{2\sqrt{a+1}}+\frac{1}{2\sqrt{a+1}}+\frac{a+1}{16}\right)+\left(\frac{1}{2\sqrt{b+1}}+\frac{1}{2\sqrt{b+1}}+\frac{b+1}{16}\right)\)\(+\left(\frac{1}{2\sqrt{c+1}}+\frac{1}{2\sqrt{c+1}}+\frac{c+1}{16}\right)+\frac{15a}{16}+\frac{15b}{16}+\frac{15c}{b}-\frac{3}{16}\)

Áp dụng Bất Đẳng Thức Cauchy ta có

\(P\ge3\sqrt[3]{\frac{a+1}{64\left(a+1\right)}}+3\sqrt[3]{\frac{b+1}{64\left(b+1\right)}}+3\sqrt[3]{\frac{c+1}{64\left(c+1\right)}}+\frac{15a}{16}+\frac{15b}{16}+\frac{15c}{16}-\frac{3}{16}\)

\(=\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\left(a+b+c\right)\ge\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\cdot3\sqrt[3]{abc}\)

Mặt khác ta có \(1=\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\Leftrightarrow abc\ge27\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\cdot3\sqrt[3]{27}=\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\cdot9=\frac{21}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c hay \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Mình giúp phần a thôi, phần b chir là áp dụng không có gì khó cả.

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)

\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{a+b+c}{abc}\right)=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\left(a+b+c=0\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right|\left(đpcm\right)\)

b, \(A=\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{399^2}+\frac{1}{400^2}}\)

\(A=\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{\left(-2\right)^2}}+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{\left(-3\right)^2}}+...+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{399^2}+\frac{1}{\left(-400\right)^2}}\)

có 1 + 1 - 2 = 1 + 2 - 3 = ... + 1 + 399 - 400 = 0

nên theo câu a ta có : 

\(A=\left|1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right|+\left|1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right|+...+\left|1+\frac{1}{399}-\frac{1}{400}\right|\)

A = 1 + 1 -1/2 + 1 + 1/2 - 1/3 + 1 + 1/3 - 1/4 + ... + 1 + 1/399 - 1/400

= 400  1/400

= 159999/400

Bạn ơi cho mình hỏi áp dụng như lào vậy???

bn có thể tham khảo ở sách vũ hữu binh nha

Gọi vế trái BPT là A.

Xét biểu thức tổng quát:

\(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\left(n+1\right)^2}}=\sqrt{\frac{n^2\left(n+1\right)^2+\left(n+1\right)^2+n^2}{\left[n\left(n+1\right)\right]^2}}\\ =\frac{\sqrt{n^2\left(n^2+2n+1\right)+n^2+2n+1+n^2}}{n\left(n+1\right)}\\ =\frac{\sqrt{n^4+2n^3+3n^2+2n+1}}{n\left(n+1\right)}\\ =\frac{\sqrt{\left(n^2+n+1\right)^2}}{n\left(n+1\right)}\\ =\frac{n^2+n+1}{n\left(n+1\right)}\\ =\frac{n\left(n+1\right)+n+1-n}{n\left(n+1\right)}\\ =1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

Suy ra:

\(A=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+1+\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}\)

\(=\left(1+1+...+1\right)+\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}\right)\) (2018 số hạng 1)

\(=2018+\frac{1}{2}-\frac{1}{2018}< 2018\)

Vậy \(A< 2018\left(đpcm\right)\).

Chúc bạn học tốt nha.