Lời giải:

$M,N$ lần lượt là trung điểm $AB, AC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với cạnh $BC$

$\Rightarrow MN\parallel BC$ hay $MN\parallel HP$

$\Rightarrow MNPH$ là hình thang $(*)$

Mặt khác:
Tam giác vuông $ABH$ có $HM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $HM=\frac{AB}{2}=MB$ (bổ đề quen thuộc)

$\Rightarrow $MHB$ cân tại $M$

$\Rightarrow \widehat{MHB}=\widehat{MBH}$

Mà $\widehat{MBH}=\widehat{NPC}$ (hai góc đồng vị với $NP\parallel AB$)

$\Rightarrow \widehat{MHB}=\widehat{NPC}$

$\Rightarrow 180^0-\widehat{MHB}=180^0-\widehat{NPC}$

Hay $\widehat{MHP}=\widehat{NPH}(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow $MNPH$ là hình thang cân (đpcm)

Hình vẽ: 

- Vì \(M\) là trung điểm của \(AB;N\) là trung điểm của \(AC\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\). Do đó, \(MN//BC\) (tính chất đường trung bình).

\( \Rightarrow MN//HP\left( {H;P \in BC} \right)\)

Xét tứ giác \(MNPH\) có: \(MN//HP \Rightarrow \) tứ giác \(MNPH\) là hình thang.

- Vì \(M\) là trung điểm của \(AB;P\) là trung điểm của \(AC\) nên \(MP\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\). Do đó, \(MP = \frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung bình) (1).

- Xét tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\) có:

\(N\)là trung điểm của \(AC\) nên \(HN = \frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(MP = HN\).

Xét hình thang \(MNPH\) có: \(MP = HN\) (chứng minh trên).

Do đó, hình thang \(MNPH\) là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân).

a: Xét tứ giác APCQ có

N là trung điểm chung của AC và PQ

nên APCQ là hình bình hành

=>AQ//CP và AQ=CP

AQ=CP

CP=PB

Do đó: AQ=BP

AQ//CP

mà B thuộc tia đối của tia CP

nên AQ//BP

Xét tứ giác AQPB có

AQ//PB

AQ=PB

Do đó: AQPB là hình bình hành

b: Xét ΔABC có

M,N lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>MN là đường trung bình của ΔABC

=>MN//BC

=>MN//HP

Xét ΔABC có

M,P lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>MP là đường trung bình

=>MP//AC và MP=AC/2(1)

ΔAHC vuông tại H

mà HN là đường trung tuyến

nên \(HN=\dfrac{AC}{2}\)(2)

Từ (1),(2) suy ra MP=HN

Xét tứ giác MNPH có

MN//PH

MP=HN

Do đó: MNPH là hình thang cân

Đừng có hỏi nữa 

Xét ΔABC có

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó: MN là đường trung bình của ΔBAC

Suy ra: MN//BC

hay MN//HP

Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

P là trung điểm của BC

Do đó: MP là đường trung bình của ΔACB

Suy ra: \(MP=\dfrac{AC}{2}\left(1\right)\)

Ta có: ΔAHC vuông tại H

mà HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(HN=\dfrac{AC}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra MP=HN

Xét tứ giác MNPH có MN//PH

nên MNPH là hình thang

mà MP=HN

nên MNPH là hình thang cân