Nếu \(2m+2=0\Rightarrow m=-1\Rightarrow y=-2\)

=>  ĐTHS là đường thẳng đi qua (0;-2) và // với trục Ox

=> Khoảng cách từ O đến đths là 2

Nếu \(2m+2\ne0\Rightarrow m\ne-1\)

Khi đó ĐTHS \(y=\left(2m+2\right)x+m-1\) là đường thẳng đi qua điểm \(A\left(\frac{1-m}{2m+2};0\right)\) và \(B\left(0;m-1\right)\)

(ĐTHS bạn tự vẽ nhé)

Kẻ OH vuông góc với AB => OH là khoảng cách từ O đến đths

Tam giác AOB vuông tại O có OH là đường cao ứng với cạnh huyền nên ta có hệ thức sau:

\(\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}=\frac{1}{\left(\frac{1-m}{2m+2}\right)^2}+\frac{1}{\left(m-1\right)^2}=\frac{4m^2+8m+5}{m^2-2m+1}\)

\(\Rightarrow OH^2=\frac{m^2-2m+1}{4m^2+8m+5}\)

Đặt \(OH^2=a\ge0\)

\(\Rightarrow4m^2a+8ma+5a=m^2-2m+1\)

\(\Leftrightarrow m^2\left(4a-1\right)+2m\left(4a+1\right)+\left(5a-1\right)=0\)

\(\Delta^'=\left(4a+1\right)^2-\left(4a-1\right)\left(5a-1\right)=16a^2+8a+1-20a^2+9a-1\)

\(=-4a^2+17a=-a\left(4a-17\right)\)

\(\Delta^'\ge0\Leftrightarrow a\left(4a-17\right)\le0\Rightarrow0\le a\le\frac{17}{4}\)

\(\Rightarrow a_{max}=\frac{17}{4}\Rightarrow OH^2=\frac{17}{4}\Rightarrow OH=\frac{\sqrt{17}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{m^2-2m+1}{4m^2+8m+5}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow4m^2-8m+4=68m^2+136m+85\)

\(\Leftrightarrow64m^2+144m+81=0\Leftrightarrow\left(8m+9\right)^2=0\Rightarrow m=-\frac{9}{8}\)

Vậy khoảng cách lớn nhất từ O đến đths là \(\frac{\sqrt{17}}{2}\) khi \(m=-\frac{9}{8}\)

a) Để hàm số trên đồng biến thì a>0  <=> m+5>0  <=> m>-5

b) thay A(2;3) vào đồ thị hs ta đc 3=(m+5).2+2m-10  =>m=3/4

PT giao Ox: \(y=0\Leftrightarrow\left(m-1\right)x=-3m\Leftrightarrow x=\dfrac{3m}{1-m}\Leftrightarrow A\left(\dfrac{3m}{1-m};0\right)\Leftrightarrow OA=\left|\dfrac{3m}{1-m}\right|\)

PT giao Oy: \(x=0\Leftrightarrow y=3m\Leftrightarrow B\left(0;3m\right)\Leftrightarrow OB=\left|3m\right|\)

Gọi H là hình chiếu O lên đths

K/c từ O đến đths đạt max khi OH đạt max

Áp dụng HTL: \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{\left(1-m\right)^2}{9m^2}+\dfrac{1}{9m^2}=\dfrac{m^2-2m+2}{9m^2}\)

Đặt \(\dfrac{1}{OH^2}=t\Leftrightarrow9m^2t=m^2-2m+2\)

\(\Leftrightarrow m^2\left(9t-1\right)+2m-2=0\)

Coi đây là PT bậc 2 ẩn m, PT có nghiệm khi:

\(\Delta=4-4\left(-2\right)\left(9t-1\right)\ge0\\ \Leftrightarrow4+72t-9\ge0\\ \Leftrightarrow t\ge\dfrac{5}{72}\Leftrightarrow\dfrac{1}{OH^2}\ge\dfrac{5}{72}\\ \Leftrightarrow OH^2\le\dfrac{72}{5}\Leftrightarrow OH\le\dfrac{6\sqrt{10}}{5}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\) PT có nghiệm kép

\(\Leftrightarrow m=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{2}{18t-2}=-\dfrac{2}{18\cdot\dfrac{5}{72}-2}=\dfrac{8}{3}\)

Bài 1:

Đặt:  (d):  y = (m+5)x + 2m - 10

Để y là hàm số bậc nhất thì:  m + 5 # 0    <=>   m # -5

Để y là hàm số đồng biến thì: m + 5 > 0  <=>  m > -5

(d) đi qua A(2,3) nên ta có:

3 = (m+5).2 + 2m - 10

<=>  2m + 10 + 2m - 10 = 3

<=>  4m = 3

<=> m = 3/4

(d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9 nên ta có:

9 = (m+5).0 + 2m - 10

<=> 2m - 10 = 9

<=>  2m = 19

<=> m = 19/2

(d) đi qua điểm 10 trên trục hoành nên ta có:

0 = (m+5).10 + 2m - 10

<=> 10m + 50 + 2m - 10 = 0

<=>  12m = -40

<=> m = -10/3

(d) // y = 2x - 1  nên ta có:

\(\hept{\begin{cases}m+5=2\\2m-10\ne-1\end{cases}}\)   <=>   \(\hept{\begin{cases}m=-3\\m\ne\frac{9}{2}\end{cases}}\)  <=>  \(m=-3\)

Giả sử (d) luôn đi qua điểm cố định M(x₀; y₀)

Ta có:  \(y_0=\left(m+5\right)x_0+2m-10\)

<=>  \(mx_0+5x_0+2m-10-y_0=0\)

<=>  \(m\left(x_o+2\right)+5x_0-y_0-10=0\)

Để M cố định thì:  \(\hept{\begin{cases}x_0+2=0\\5x_0-y_0-10=0\end{cases}}\)   <=>   \(\hept{\begin{cases}x_0=-2\\y_0=-20\end{cases}}\)

Vậy...

Đặt: d: y = ( m+1 ) x + 3

+) TH1: m = -1

=> d: y = 3

=> Khoảng cách của gốc tọa độ tới d là: 3 (1)

+) Th2: m khác -1.

Giao điểm của d với Ox là : A ( \(-\frac{3}{m+1};0\))

=> \(OA=\left|\frac{3}{m+1}\right|\)

Giao điểm của d với Oy là: \(B\left(0;3\right)\)

=> OB = 3.

Kẻ OH vuông với d tại H => AH  là khoảng cách từ O tới d

Xét tam giác OAB vuông tại O. Có OH là đường cao:

=> \(\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}=\frac{\left(m+1\right)^2}{9}+\frac{1}{9}>\frac{1}{9}\)vì m khác 1 => \(\left(m+1\right)^2>0\)

=> \(OH< 3\)

=> Khoảng cách từ gốc tọa độ đến d nhỏ hơn 3 (2)

Từ (1); (2) Khoảng cách từ O đến d có giá trị lớn nhất là 3 đạt tại m = -1.

len google bn oi