Bài 1:

$A=(n-1)(2n-3)-2n(n-3)-4n$

$=2n^2-5n+3-(2n^2-6n)-4n$

$=-3n+3=3(1-n)$ chia hết cho $3$ với mọi số nguyên $n$

Ta có đpcm.

Bài 2:
$B=(n+2)(2n-3)+n(2n-3)+n(n+10)$

$=(2n-3)(n+2+n)+n(n+10)$

$=(2n-3)(2n+2)+n(n+10)=4n^2-2n-6+n^2+10n$

$=5n^2+8n-6=5n(n+3)-7(n+3)+15$

$=(n+3)(5n-7)+15$

Để $B\vdots n+3$ thì $(n+3)(5n-7)+15\vdots n+3$

$\Leftrightarrow 15\vdots n+3$
$\Leftrightarrow n+3\in\left\{\pm 1;\pm 3;\pm 5;\pm 15\right\}$

$\Rightarrow n\in\left\{-2;-4;0;-6;-8; 2;12;-18\right\}$

làm câu

a, Ta có : \(\text{n + 5 = (n - 1)+6}\)

Vì \(\text{(n-1) ⋮ n-1}\)

Nên để \(\text{n+5 ⋮ n-1}\)⋮ `n-1`

Thì \(\text{6 ⋮ n-1}\) 

\(\Rightarrow\) \(\text{n - 1 ∈ Ư(6)}\)

\(\Rightarrow\) \(\text{n - 1 ∈}\) \(\left\{\text{±1;±2;±3;±6}\right\}\)

\(\Rightarrow\) \(\text{n ∈}\) \(\left\{\text{0;-1;-2;-5;2;3;4;7}\right\}\) \(\text{( TM )}\)

\(\text{________________________________________________________}\)

b, Ta có : \(\text{2n-4 = (2n+4)- 8 = 2(n+2) - 8}\)

Vì \(\text{2(n+2) ⋮ n+2}\)

Nên để \(\text{2n-4 ⋮ n+2}\)

Thì \(\text{8 ⋮ n+2}\)

\(\Rightarrow\) \(\text{n + 2 ∈ Ư(8)}\)

\(\Rightarrow\) \(\text{n + 2 ∈}\) \(\left\{\text{±1;±2;±4;±8}\right\}\)

\(\Rightarrow\) \(\text{n ∈}\) \(\left\{\text{-3;-4;-6;-10;-1;0;2;6}\right\}\) ( TM )

\(\text{_________________________________________________________________ }\)

c, Ta có :\(\text{ 6n + 4 = (6n + 3) +1 = 3(2n+1) + 1}\)

Vì \(\text{3(2n+1) ⋮ 2n+1}\)

Nên để\(\text{ 6n+4 ⋮ 2n+1}\)

Thì \(\text{1 ⋮ 2n+1}\)

\(\Rightarrow\) \(\text{2n + 1 ∈ Ư(1)}\)

\(\Rightarrow\) \(\text{2n + 1 ∈}\) \(\left\{\text{±1}\right\}\)

\(\Rightarrow\) \(\text{2n ∈}\) \(\left\{\text{-2;0}\right\}\)

\(\Rightarrow\) \(\text{n ∈}\) \(\left\{\text{-1;0}\right\}\) ( TM )

\(\text{_______________________________________}\)

Ta có : \(\text{3 - 2n = -( 2n - 3 ) = -( 2n + 2 ) + 5 = -2( n+1)+5}\)

Vì \(\text{-2(n+1) ⋮ n+1}\)

Nên để \(\text{3-2n ⋮ n+1}\)

Thì\(\text{ 5 ⋮ n + 1}\)

\(\Rightarrow\) \(\text{n + 1 ∈}\) \(\left\{\text{±1;±5}\right\}\)

\(\Rightarrow\) \(\text{n ∈}\) \(\text{-2;-6;0;4}\) ( TM )

   2n+ 1 chia hết cho n - 3

2n - 6 +7 chia hết cho n - 3 

( 2n - 6 ) + 7 chia hết cho n - 3 

2( n - 3) + 7 chia hết cho n - 3 

Vì 2( n - 3) chia hết cho n-3 với mọi n 

=> 7 chia hết cho n -3 

=> n-3 thuộc { -7 ; -1 ; 1 ; 7 } 

=> n thuộc { -4 ; 2 ; 4 ; 10 }

2n + 1 chia hết cho n -3 

=> 2n - 6 + 7 chia hết cho n - 3

=> 2(n - 3) + 7 chia hết cho n - 3

=> 7 chia hết cho n - 3

=> n - 3 thuộc Ư(7)

=> n - 3 thuộc {-1;1;-7;7}

=> n thuộc {2;4;-4;10}

Ta có : 2n+1\(⋮\)n-3

\(\Rightarrow\)2n-6+7\(⋮\)n-3

\(\Rightarrow\)2(n-3)+7\(⋮\)n-3

Vì 2(n-3)\(⋮\)n-3 nên 7\(⋮\)n-3

\(\Rightarrow n-3\inƯ\left(7\right)=\left\{\pm1;\pm7\right\}\)

Ta có bảng sau : 

Vậy n\(\in\){-4;4;2;10}

2n+1=2n-3+4 chia hết cho n-3

mà 2n-3 chia hết cho n-3

=> 4 chia hết cho n-3

mà 4 chia hết cho 1;-1;2;-2;4;-4

=>n-3 = 1 => n = 4

n-3 = -1 => n= 2

n-3 = 2 => n = 5

n-3 = -2 => n = 1

n-3 = 4 => n = 7

n-3 = -4 => n = -1

KL n=4;2;5;1;7;-1

rùi làm cho

tả cô : 2n+1=2n-6+6+1=2n-6+7                                                                                                                                                                                   để 2n+1 chia hết cho n-3 thì 2n-6+7 chia hết cho n-3 mà 2n-6 chia hết cho n-3 nên 7 chia hết cho n-3 hay n- 3 thuộc U(7)                                 ma U(7)={-7;-1;1;7}                                                                                                                                                                                        suy ra n-3 thưoc {-7;-1;1;7}                                                                                                                                                                        suy ra n thuộc {-4;2;4;10} , ủng hộ cho mình đầu xuân năm mới nha

Ta có : n + 1 chia hết cho n + 1 

\(\Rightarrow\)2(n + 1) chia hết cho n + 1

\(\Rightarrow\)2n + 2 chia hết cho n + 1

Mà theo đầu bài 2n + 3 chia hết cho n + 1

\(\Rightarrow\)  (2n + 3) - (2n + 2) chia hết cho n + 1

\(\Rightarrow\)  2n + 3 - 2n - 2 chia hết cho n + 1

Tính ra ta được 1 chia hết cho n + 1

\(\Rightarrow\)  n thuộc Ư(1) nên n = 1

Vậy số nguyên n cần tìm là 1

2n + 3 chia hết cho n + 1

2n + 2 + 1 chia hết cho n + 1 

2.(n + 1) + 1 chia hết cho n + 1 

=> 1 chia hết cho n + 1

=> n + 1 thuộc Ư(1) = {1 ; -1}

Xét 2 trường hợp , ta có :

n + 1 =1        => n = 0

n + 1 = -1      => n = -2

Ta có :

\(2n+3⋮n+1\)

\(\Rightarrow2n+1+2⋮n+1\)

Mà  \(2n+1⋮n+1\)

\(\Rightarrow3⋮n+1\)

\(\Rightarrow n+1\inƯ\left(3\right)\)

\(Ư\left(3\right)=\left\{-1;1;3;-3\right\}\)

Ta có bảng sau :

Vậy ........