1.

Đặt \(1995^{1995}=a=a_1+a_2+a_3+...+a_n\)

Gọi \(S=a_1^3+a_2^3+...+a_n^3=a_1^3+a_2^3+...+a_n^3-a+a\)

\(S=\left(a_1^3-a_1\right)+\left(a_2^3-a_2\right)+...+\left(a_n^3-a_n\right)+a\)

Vì mỗi dấu ngoặc đều chia hết cho 6 do là tích 3 số tự nhiên liên tiếp

\(\Rightarrow S\) chia 6 dư a

Mà \(1995\equiv3\left(mod6\right)\Rightarrow1995^{1995}\equiv3\left(mod6\right)\)

Vậy S chia 6 dư 3

2.

\(2^{100}=\left(2^{10}\right)^{10}=1024^{10}=\left(B\left(25\right)-1\right)^{10}=B\left(25\right)+1\)

Vì 2¹⁰⁰ chẵn nên 3 chữ số tận cùng của nó chẵn nên có thể là 126; 376; 626; 876

Lại có 2¹⁰⁰ chia hết cho 8 => ba chữ số tận cùng chi hết cho 8

=> Ba CTSC là 376

3.

\(22^{22}+55^{55}=\left(BS7+1\right)^{22}+\left(BS7-1\right)^{55}=BS7+1+BS7-1=BS7⋮7\)

\(3^{1993}=3\cdot\left(3^3\right)^{664}=3\cdot\left(BS7-1\right)^{664}=3\left(BS7+1\right)=BS7+3\) nên chia 7 dư 3

\(1992^{1993}+1994^{1995}=\left(BS7-3\right)^{1993}+\left(BS7-1\right)^{1995}=BS7-3^{1993}+BS7-1=BS7-\left(BS7+3\right)+BS7-1=BS7-4\) chia 7 dư 3

\(3^{2^{1930}}=3^{2860}=3\cdot\left(3^3\right)^{953}=3\cdot\left(BS7-1\right)^{953}=3\left(BS7-1\right)=BS7-3\) chia 7 dư 4

4.

\(2^{1994}=2^2\cdot\left(2^3\right)^{664}=4\left(BS7+1\right)^{664}=4\left(BS7+1\right)=BS7+4\) chia 7 dư 4

\(3^{1998}+5^{1998}=\left(3^3\right)^{666}+\left(5^2\right)^{999}=\left(BS7-1\right)^{666}+\left(BS7-1\right)^{999}=BS7+1+BS7-1=BS7⋮7\)

\(A=1^3+2^3+3^3+...+99^3=\left(1+2+...+99\right)^2=B^2⋮B\)

CM bằng quy nạp (có trên mạng)

a)Trong phép chia cho 2 :số dư có thể là 0 ; 1

Trong phép chia cho 3 : số dư có thể là 0 ; 1 ; 2

Trong phép chia cho 4 : số dư có thể là 0 ; 1 ; 2 ; 3

Trong phép chia cho 5 : số dư có thể là 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4

b) dạng tổng quát của số chia hết cho 2 là 2k

dạng tổng quát của số chia hết cho 3 là 3k

dạng tổng quát của số chia hết  cho 4 là 4k

c)dạng tổng quát của số chia hết cho 3 dư 1 là 3k+1 ( k€n)

dạng tổng quát của số chia hết cho 3 dư 2 là : 3k+2 (k€n)

d) dạng tổng quát của số chia 4 dư 1 là: 4k+1 

dạng tổng quát của  số chia 5 dư 2 là : 5k+2

Cám ơn các bạn nhiều lắm !

ôi zời ghi từng bài thôi @_@

nhiều quá duyetj đi

giúp mk vs mọi người

Lời giải:
Gọi tổng trên là $A$

$A=(3+3^2)+(3^3+3^4)+....+(3^{99}+3^{100})$

$=3(1+3)+3^3(1+3)+....+3^{99}(1+3)$
$=(1+3)(3+3^3+...+3^{99})=4(3+3^3+...+3^{99})\vdots 4$

Vậy tổng trên chia 4 dư 0.

là sao bạn

354346y45