Bài 9. Cho hình thang vuông ABCD, có  =  = 90^o và AD = 2BC. Kẻ AH vuông góc với BD (H thuộc BD). Gọi I là trung điểm của HD.

Chứng minh rằng: CI ^ AI

Giải:

Gọi G là trung điểm AD. Suy ra GI là đường trung bình traong tam giác ADH => GI // AH.

Vẽ IJ // AD => Tứ giác AGIJ là hình bình hành => AG = IJ = BC => Tứ giác BCIJ cũng là hình bình hành.

Vì IJ // AD => IJ vuông góc với AB. Trong tam giác ABI thì J là giao điểm hai đường cao IJ và AH nên J là trực tâm => BJ vuông góc AI.

Mà BJ // CI (Do tứ giác BCIJ là hình bình hành) nên CI vuông góc với AI.

b: Ta có: \(AE=ED=\dfrac{1}{2}AD\)

mà \(AB=BC=\dfrac{AD}{2}\)

nên AE=ED=AB=BC

Xét tứ giác AECB có 

AE//CB

AE=CB

Do đó: AECB là hình bình hành

mà \(\widehat{EAB}=90^0\)

nên AECB là hình chữ nhật

mà AE=AB

nên AECB là hình vuông

Xét ΔHAD có 

N là trung điểm của AH

M là trung điểm của HD

Do đó: MN là đường trung bình của ΔHAD

Suy ra: MN//AD và \(MN=\dfrac{AD}{2}\)

mà \(AE=BC=\dfrac{AD}{2}\) và AD//BC

nên MN//BC và MN=BC

Xét tứ giác BCMN có 

MN//BC

MN=BC

Do đó: BCMN là hình bình hành

Tam giác ABC cân tại A, H là trung điểm của BC nên \(AH\perp BC\).
Có \(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AD}\right)\left(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HD}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{HD}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BH}\right)\) (do \(AH\perp BC\) )
\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AH}.\left(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HD}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HD}\right).\overrightarrow{BH}\)
\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BH}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BH}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{HD}.\overrightarrow{BH}\)
\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{HD}.\overrightarrow{BH}\) ( do \(AH\perp BC\) )
\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{HD}\left(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{BH}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{HD}\left(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HC}\right)\) ( doM là trung điểm của BC).
\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{HD}.\overrightarrow{AC}\)
\(=0\) (Do \(HD\perp AC\) )