Anh có cách khác nè :

\(\frac{1}{x\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{1}{y\left(y-z\right)\left(y-z\right)}+\frac{1}{z\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\)

\(=\frac{-yz\left(y-z\right)-zx\left(z-x\right)-xy\left(x-y\right)}{xyz\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\)

\(=\frac{yz\left(x-y+z-x\right)-zx\left(z-x\right)-xy\left(x-y\right)}{xyz\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\)

\(=\frac{\left(x-y\right)\left(yz-xy\right)-\left(z-x\right)\left(zx-yz\right)}{xyz\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\)

\(=\frac{y\left(x-y\right)\left(z-x\right)-z\left(x-y\right)\left(z-x\right)}{xyz\left(x-y\right)\left(y-\right)\left(z-x\right)}\)

\(=\frac{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{xyz\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\)

\(=\frac{1}{xyz}\)

\(\frac{1}{x\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{1}{y\left(y-x\right)\left(y-z\right)}+\frac{1}{z\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\)

\(=\frac{-yz\left(y-z\right)-zx\left(z-x\right)-xy\left(x-y\right)}{xyz\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\)

\(=\frac{-y^2z+yz^2-z^2x+zx^2-x^2y+xy^2}{xyz\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\)

\(=\frac{-y^2\left(z-x\right)-zx\left(z-x\right)+y\left(z^2-x^2\right)}{xyz\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\)

\(=\frac{\left(z-x\right)\left(yz+xy-y^2-zx\right)}{xyz\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\)

\(=\frac{\left(z-y\right)\left[y\left(x-y\right)-z\left(x-y\right)\right]}{xyz\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\)

\(=\frac{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{xyz\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\)

\(=\frac{1}{xyz}\)

Xem lại cái đề đi Tuyển. Hình như giá trị nhỏ nhất của cái biểu thức dưới còn lớn hơn là 1 thì làm sao bài đó có giá trị x, y, z thỏa được mà bảo tính A.

Đúng là chơi lừa bịp thực sự bài này rất dễ đây là cách giải:

ta có: \(\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^4+.....+\left(x+z\right)^{100}\ge0\)còn \(-\left(y+z+x\right)\le0\)  nên phương trình 1 vô lý 

tương tự chứng minh phương trinh 2 và 3 vô lý 

vậy \(\hept{\begin{cases}x=\varnothing\\y=\varnothing\\z=\varnothing\end{cases}}\)

thực sự bài này mới nhìn vào thì đánh lừa người làm vì các phương trình rất phức tạp nhưng nếu nhìn kĩ lại thì nó rất dễ vì các trường hợp đều vô nghiệm

\(\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^4+...+\left(x+z\right)^{100}=-\left(y+z+x\right)\)

Đặt : \(A=\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^4+...+\left(x+z\right)^{100}\)

Ta dễ dàng nhận thấy tất cả số mũ đều chẵn 

\(=>A\ge0\)(1)

Đặt : \(B=-\left(y+z+x\right)\)

\(=>B\le0\)(2)

Từ 1 và 2 \(=>A\ge0\le B\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(A=B=0\)

Do \(B=0< =>y+z+x=0\)(3)

\(A=0< =>\hept{\begin{cases}x+y=0\\y+z=0\\x+z=0\end{cases}}\)(4)

Từ 3 và 4 \(=>x=y=z=0\)

Vậy nghiệm của pt trên là : {x;y;z}={0;0;0}

Đặt :\(\left(xy\right)^2+2\left(yz\right)^4+...+100\left(zx\right)^{100}=A\)

Ta thấy các số mũ đều chẵn 

Nên \(A\ge0\left(1\right)\)

Đặt : \(-\left[\left(x+y+z\right)+2\left(yz+zx+xy\right)+...+99\left(x+y+z\right)\right]=B\)

Vì có dấu âm ở trước VT

Nên \(B\le0\left(2\right)\)

Từ 1 và 2 <=> \(A=B=0\)

\(< =>x=y=z=0\)

Theo BĐT AM - GM cho 3 số dương, ta có: \(\left(3x+1\right)\left(y+z\right)+x=3xy+3zx+x+y+z\)

\(\ge3xy+3zx+3\sqrt[3]{xyz}=3zx+3xy+3=3\left(zx+xy+1\right)\)(Do xyz = 1)

\(\Rightarrow\frac{1}{\left(3x+1\right)\left(y+z\right)+x}\le\frac{1}{3\left(zx+xy+1\right)}\)(1)

Tương tự ta có: \(\frac{1}{\left(3y+1\right)\left(z+x\right)+y}\le\frac{1}{3\left(xy+yz+1\right)}\)(2); \(\frac{1}{\left(3z+1\right)\left(x+y\right)+z}\le\frac{1}{3\left(yz+zx+1\right)}\)(3)

Cộng theo từng vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được:  \(P\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{xy+yz+1}+\frac{1}{yz+zx+1}+\frac{1}{zx+xy+1}\right)\)

Ta có BĐT: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

Thật vậy, với a, b dương thì (*)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\ge ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)

Áp dụng BĐT trên và sử dụng giả thiết xyz = 1, ta được: \(\frac{1}{xy+yz+1}=\frac{\sqrt[3]{xyz}}{y\left(z+x\right)+\sqrt[3]{xyz}}\)

\(=\frac{\sqrt[3]{xyz}}{y\left[\left(\sqrt[3]{z}\right)^3+\left(\sqrt[3]{x}\right)^3\right]+\sqrt[3]{xyz}}\le\frac{\sqrt[3]{xyz}}{y\sqrt[3]{zx}\left(\sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{x}\right)+\sqrt[3]{xyz}}\)

\(=\frac{\sqrt[3]{xyz}}{\sqrt[3]{y^3zx}\left(\sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{x}\right)+\sqrt[3]{xyz}}=\frac{\sqrt[3]{xyz}}{\sqrt[3]{y^2}\left(\sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{x}\right)+\sqrt[3]{xyz}}\)

\(=\frac{\sqrt[3]{zx}}{\sqrt[3]{y}\left(\sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{x}\right)+\sqrt[3]{zx}}=\frac{\sqrt[3]{zx}}{\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{zx}}\)(*)

Tương tự: \(\frac{1}{yz+zx+1}\le\frac{\sqrt[3]{xy}}{\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{zx}}\)(**); \(\frac{1}{zx+xy+1}\le\frac{\sqrt[3]{yz}}{\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{zx}}\)(***)

Cộng theo từng vế của 3 BĐT (*), (**), (***), ta được: \(\frac{1}{xy+yz+1}+\frac{1}{yz+zx+1}+\frac{1}{zx+xy+1}\le\frac{\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{zx}}{\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{zx}}=1\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{xy+yz+1}+\frac{1}{yz+zx+1}+\frac{1}{zx+xy+1}\right)\le\frac{1}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

https://h.vn//hoi-dap/question/873191.html

https://h.vn/hoi-dap/question/873191.html