Bài 1.

a) Rút gọn A = \(\frac{5\sqrt{x}-2-3x}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

b) Tìm số nguyên x để A là một số nguyên

Bài 2. Cho đường tròn (O;R), đường kính AB và điểm C thuộc (O), kẻ CH vuông góc với AB tại H (tam giác ABC vuông tại C). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt tia BC ở điểm D và điểm I là trung điểm của AD ( IC là tiếp tuyến của đường tròn (O) ). Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt tia IC ở K. Hãy xác định vị trí điểm C trên (O) để diện tích tứ giác AKBI nhỏ nhất.

Bài 1:Cho tam giác ABC (AB<AC) có ba góc nhọn. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB tại E và AC tại D. BD cắt CE tại H.

a, Chứng minh: BD và  CE là hai đường cao tam giác ABC. Suy ra AH\(\perp\)BC tại F.

b, Chứng minh: FH là tia phân giác \(\widehat{DFE}\)

c, Cho BC=2a và \(\widehat{BAC}\)= 60\(^o\). Chứng minh tứ giác DEFO nội tiếp và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác này theo a

Bài 2: Rút gọn

A=\(\left(\sqrt{11+2\sqrt{30}}-\sqrt{8-4\sqrt{3}}\right)\)\(\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\)

Bài 3: Cho phương trình \(^{^{x^2}-2\left(m-1\right)x+m^2-3m-4}\)

Đăt A=x\(_{1^2}\)+\(x_{2^2-x_1.x_2}\)

Tìm m sao cho A=20

Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng

HELP ME!!!

Bài 1: Cho biểu thức Q = \(\frac{2\sqrt{x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\frac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}\)

a, Rút gọn biểu thức

b, Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của Q cũng là số nguyên

Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Hai đường cao AD, BE cắt nhau tại H (\(D\in BC,E\in AC\))

a, Chứng minh ABDE là tứ giác nội tiếp đường tròn

b, Tia AO cắt đường tròn (O) tại K ( K khác A). Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành

c, Gọi F là giao điểm của tia CH và AB. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Q = \(\frac{AD}{HD}+\frac{BE}{HE}+\frac{CF}{HF}\)

Cho đường tròn (O;3cm) đường kính BC. Vẽ dây AD vuông góc với BC tại H sao cho BH=1cm ( vẽ hình+ làm bài)

a) Tính độ dài AH

b) Trên bán kính OB lấy điểm E sao cho H là trung điểm của BE. Chứng minh tứ giác ABDE là hình thoi.

c) kéo dài DE cắt AC tại F. Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm E bán kính bằng 2/3 AB

d) Qua điểm H vẽ dây MN bất kì của đường tròn (O). Tìm giá trị nhỏ nhất của MN

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. các đường tròn đường kính BH và đường kính CH cắt AB, AC theo thứ tự tại D, E. chứng mình rằng:

a) AD.AB = AE,AC

b) Đường thẳng DE là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn đã cho.

Bài 2. Chứng minh rằng: với mọi x,y,z \(\in\)R ta có

\(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)

Bài 3. Cho biểu thức: \(P=\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}-1}\)

a) Rút gọn P

b) Tìm GTNN của P

Bài 1: Cho hàm số y = (m-1)x + m, (với m là tham số) có đồ thị là đường thẳng (d)

a) Xác định giá trị của m để đồ thị (d) của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2

b) Xác định giá trị của m để đồ thị (d) của hàm số tạo với trục Ox 1 góc 45 độ. Khi đó hãy xác định công thức của đường thẳng (d') đi qua M(2;0) và song song với (d)

Bài 2: Cho đường tròn tâm O dường kính BC, điểm A thuộc đường tròn. Vẽ bán kính OK song song với BA ( K và A nằm cùng phía đối diện với BC). Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại C cắt OK ở I, OI cayws AC tại H. Chứng minh:

a) 4 điểm A, O, C, I cùng thuộc 1 đường tròn

b) IA là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c) CK là phân giác của góc ACI 

Bài 3: Cho tâm giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AC, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng mình:

a) 4 điểm A, E, H, F cùng thuộc 1 đường tròn tâm O đường kính AH 

b) DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c) DH.DA = DE.DE 

1.Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn x⁵ + y² = xy² + 1

2. Cho a,b,c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh \(\frac{1}{\sqrt{ab+a+2}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+2}}+\frac{1}{\sqrt{ac+c+2}}\)​​=< \(\frac{3}{2}\)

3. Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, trên Ax lấy M sao cho AM > R. Từ M vẽ tiếp tuyến Mc với nửa đường tròn, từ C vẽ CH vuông góc với AB, CE vuông góc với AM. Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt BC tại N. Đường thẳng MO cắt CE, CA, CH lần lượt tại Q,K, P.

a, CM MNCO là hình thang cân

b, MB cắt CH tại I. CM KI // AB.

c, Gọi G và F lần lượt là trung điểm của AH và AE. CM PG vuông góc với QF

1.Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB , trên nửa đường tròn lấy điểm D bất kì . Dựng hình bình hành ABCD . Kẻ DM vuông với AC , BN vuông với AC (M,N thuộc AC) . Tìm vị trí của D trên nửa đường tròn (O) sao cho : tích BN x AC lớn nhất

2*.Cho nửa đt (O;R) đường kính AB. M là điểm di động trên nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiếp tuyến tại A và B của đường tròn lần lượt tại C và D. AM cắt BD tại I. CMR: OI vuông góc BC

3*.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) , ba đường cao AD , BE , CF của tam giác ABC cắt đường tròn (O) lần lượt tại K, N, M . Tính giá trị của biểu thức : AK/AD + BN/BE + CM/CF