a, \(\Delta MNI\) cân tại N có MB ,, IA là 2 đường trung tuyến

=> MB = IA => \(\dfrac{2}{3}MB=\dfrac{2}{3}IAhayAC=BD\)

tam giác MNI có K là trọng tâm

=> \(\left\{{}\begin{matrix}AK=\dfrac{1}{2}KI=KC\\BK=\dfrac{1}{2}KM=KD\end{matrix}\right.\)

tư giác ABCD có \(AC\cap BD=Kmà\left\{{}\begin{matrix}KA=KC\\KB=KD\end{matrix}\right.\)

=> tú giác ABCD là hình bình hành mà AC = BD

=> tú giác ABCD là hình chữ nhật

b, \(\Delta MNIcó\left\{{}\begin{matrix}MA=AN\\NB=BI\end{matrix}\right.\)

=> AB là đường trung bình của tam giác MNI

=> \(AB=\dfrac{1}{2}MI=\dfrac{1}{2}.18=9\)

tam giác MNK có \(\left\{{}\begin{matrix}NA=AM\\MD=DK\end{matrix}\right.\)

=> AD là đường trung bình của tam giác NMD

=> \(AD=\dfrac{1}{2}NK=\dfrac{1}{2}.12=6\)

\(C_{ABCD}=\left(9+6\right).2=30cm\)

a: Xét ΔAMI và ΔBIM có

AM=BI

\(\widehat{AMI}=\widehat{BIM}\)

IM chung

Do đó; ΔAMI=ΔBIM

SUy ra: \(\widehat{KIM}=\widehat{KMI}\)

=>ΔKMI cân tại K

=>KM=KI

mà NM=NI

nên NK là đường trung trực của MI

=>NK\(\perp\)MI

Xét ΔNMF có

A là trung điểm của NM

B là trung điểm của NI

Do đó:AB là đường trung bình

=>AB//MI và AB=MI/2(1)

Xét ΔKMI có 

D là trung điểm của KM

C là trung điểm của KI

Do đó:DC là đường trung bình

=>DC//MI và DC=MI/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra AB//DC và AB=DC

Xét ΔNMK có

A là trung điểm của NM

D là trung điểm của MK

Do đó: AD là đường trung bình

=>AD//NK và AD=NK/2

Ta có: AB//MI

nên MI\(\perp\)NK

nên AB\(\perp\)NK

mà AD//NK

nên AB\(\perp\)AD

Xét tứ giác ABCD có 

AB//CD

AB=CD
Do đó:ABCD là hình bình hành

mà \(\widehat{BAD}=90^0\)

nên ABCD là hình chữ nhật

b: AB=MI/2=9(cm)

AD=NK/2=6(cm)

\(S=AB\cdot AD=54\left(cm^2\right)\)

Bài 2:

a: Xet ΔABC có AD/AB=AF/AC

nen DF//BC và DF=1/2BC

=>BDFC là hình thang

mà góc B=góc C

nên BDFC là hình thang cân

b Xet ΔABC có

CE/CB=CF/CA

nên EF//AB và EF=AB/2

=>EF//AD và EF=AD
=>ADEF là hình bình hành

mà AD=AF

nen ADEF là hình thoi

c: Để ADEF là hình vuông thì góc BAC=90 độ