Câu 1 

Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=>\left(\frac{a}{b}+1\right)=\left(\frac{c}{d}+1\right)\left(=\right)\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}\)

=> ĐPCM

Câu 2

Ta có \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=>\frac{b}{a}=\frac{d}{c}=>\left(\frac{b}{a}+1\right)=\left(\frac{d}{c}+1\right)\left(=\right)\frac{b+a}{a}=\frac{d+c}{c}=>\frac{a}{b+a}=\frac{c}{d+c}\)

=> ĐPCM

Câu 3

Câu 3

Ta có \(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\)(=) (a+b).(c-d)=(a-b).(c+d)(=)ac-ad+bc-bd=ac+ad-bc-bd(=)-ad+bc=ad-bc(=) bc+bc=ad+ad(=)2bc=2ad(=)bc=ad=> \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

=> ĐPCM

Câu 4 

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)

\(=>\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)

Ta có \(\frac{ac}{bd}=\frac{bk.dk}{bd}=k^2\left(1\right)\)

Lại có \(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{b^2k^2+c^2k^2}{b^2+d^2}=\frac{k^2.\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}=k^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => ĐPCM

Mày là thằng anh tuấn lớp 7c trường THCS yên lập đúng ko 

Ta có \(\frac{bc}{a^2}+\frac{ab}{c^2}+\frac{ac}{b^2}=\frac{\left(bc\right)^3+\left(ab\right)^3+\left(ac\right)^3}{\left(abc\right)^2}\)

Ta lại có (a+b+c)²=a²+b²+c²

=>a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)= a²+b²+c²

=> 2(ab+bc+ac)=0=> ab+bc+ac=0

Ta cần chứng minh bài toán phụ x+y+z=0 thì

x³+y³+z³=3xyz

Ta thấy x+y+z=0=> x+y=-z

=> (x+y)³=-z³ => x³+3xy(x+y)+y³=-z³

=> x³+y³+z³=-3xy(x+y)=-3xy.(-z)=3xyz

Áp dụng vào bài toán ta có 

ab+bc+ac=0 => (ab)³+(bc)³+(ac)³=3(abc)²

=> \(\frac{bc}{a^2}+\frac{ab}{c^2}+\frac{ac}{b^2}=\frac{3\left(abc\right)^2}{\left(abc\right)^2}=3\)

=> đpcm

Ta có:a² = bc \(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{a}\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a}{b}.\frac{c}{a}=\frac{c}{b}\left(1\right)\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:

\(\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2+c^2}{b^2+a^2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}=\frac{c}{b}\left(đpcm\right)\)

\(\frac{a^2+c^2}{b^2+a^2}=\frac{c}{b}\Leftrightarrow\frac{bc+c^2}{bc+b^2}=\frac{c}{b}\Leftrightarrow b^2c+bc^2=c^2b+cb^2\Leftrightarrow0=0\)

Ta có :a² =bc và\(\frac{a^2+c^2}{b^2+a^2}\)

Thay vào có:\(\frac{bc+c^2}{b^2+bc}\)=\(\frac{c.\left(b+c\right)}{b.\left(b+c\right)}\)=\(\frac{c}{b}\) (điều phải chứng minh)

\(a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc=a^2+b^2\)

\(\Rightarrow\left(a+b-c\right)^2=a^2+b^2\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2=\left(a+b-c\right)^2-b^2=\left(a+b-c-b\right)\left(a+b-c+b\right)=\left(a-c\right)\left(a+2b-c\right)\\b^2=\left(a+b-c\right)^2-a^2=\left(a+b-c-a\right)\left(a+b-c+a\right)=\left(b-c\right)\left(2a+b-c\right)\end{cases}}\)

\(a^2+\left(a-c\right)^2=\left(a-c\right)\left(a+2b-c\right)+\left(a-c\right)^2\)

\(=\left(a-c\right)\left(a+2b-c+a-c\right)=2\left(a-c\right)\left(a+b-c\right)\)

\(b^2+\left(b-c\right)^2=\left(b-c\right)\left(2a+b-c\right)+\left(b-c\right)^2\)

\(=\left(b-c\right)\left(2a+b-c+b-c\right)=2\left(b-c\right)\left(a+b-c\right)\)

Vậy \(\frac{a^2+\left(a-c\right)^2}{b^2+\left(b-c\right)^2}=\frac{2\left(a-c\right)\left(a+b+c\right)}{2\left(b-c\right)\left(a+b+c\right)}=\frac{a-c}{b-c}\)

Bạn muốn chứng minh gì vậy bạn?