Ta có :

222³³³ + 333²²² = 111³³³ . 2³³³ + 111²²² . 3²²²

= 111²²² . [ ( 111 . 2³ )¹¹¹ + ( 3² )¹¹¹ ]

= 111²²² . ( 888¹¹¹ + 9¹¹¹ )

Vì 888¹¹¹ + 9¹¹¹ = ( 888 + 9 ) . ( 888¹¹⁰  - 888¹⁰⁹ . 9 + ... - 888 . 9¹⁰⁹ + 9¹¹⁰ )

= 13 . 69 . ( 888¹¹⁰ - 888¹⁰⁹ . 9 + ... - 888 . 9¹⁰⁹ + 9¹¹⁰ ) \(⋮\)13

Vậy 222³³³ + 333²²² \(⋮\)13

Ta có : 222 chia 13 dư 1

=> 222 = 1 (mod13)

=> 222³³³ = 1³³³ (mod13)

=> 222³³  = 1 (mod13)

=> 222³³³ chia 13 dư 1                                (1)

 Lại có : 333 chia 13 dư 8

=>333  = 8 (mod13)

=>333²²²  = 8²²² (mod13)

Mà 8²²²=8²*8¹¹¹

=>8² = -1 (mod13)

=>8²*8¹¹¹  =  (-1)¹¹¹(mod13)

=>8²²² = -1 (mod13)                                (2)

Từ (1) và (2)

=> 222³³³+333²²² = -1+1 (mod13)

=>222³³³+333²²² = 0 (mod13)

Vậy 222³³³+333²²² chia hết cho 13

bn về học đồng dư đi nhé

mod là j

222...22200333...33 có tổng các chữ số là:

            2001.2+2003.3=10011

Vì 10011 chia hết cho 3 nên 222...22200333...333 chia hết cho 3

=> 222...22200333...333 là hợp số

a, Ta có : 222 ≡ 1(mod 13) nên 222^333 ≡ 1 (mod 13) 
Và 333^2 ≡ -1 (mod 13) nên 333^222 ≡ -1 (mod 13) 
Cộng lại ta có: 
222^333 + 333^222 ≡ 0 (mod 13) đpcm 

b, 2222 ≡ 3 (mod 7) ; 3³ ≡ -1 (mod 7) ; chú ý: 5555 = 3*1851 + 2 
=> 2222^5555 ≡ 3^5555 ≡ (3³)^1851.3² ≡ (-1)^1851.9 ≡ -9 ≡ -2 ≡ 5 (mod 7) 
5555 ≡ 4 (mod 7) ; 4³ ≡ 1 (mod 7) ; 2222 = 3*740 + 2 
=> 5555^2222 ≡ 4^2222 ≡ (4³)^740.4² ≡ (1).16 ≡ 2 (mod 7) 
vậy: 2222^5555 + 5555^2222 ≡ 5+2 ≡ 0 (mod 7) => đpcm 

( tick đúng cho mink nha)

Là điều phải chứng minh đó

mod là j

ai trả lời nhanh và sớm ***

\(Ta\) \(có\) : \(222\equiv1\left(mod13\right)\) nên \(222^{333}\equiv1\left(mod13\right)\)

\(và\) \(333^2\equiv-1\left(mod13\right)\) nên \(333^{222}\equiv-1\left(mod13\right)\)

\(cộng\) \(lại\) \(ta\) \(có\) : \(222^{333}+333^{222}\equiv0\left(mod13\right)\) \(đpcm\)