a=2³⁰+2²⁰²⁰+4ⁿ=4¹⁵+4¹⁰¹⁰+4ⁿ=4¹⁵(1+4⁹⁹⁵+4^n-15) mà 4¹⁵ là số cp suy ra (1+4⁹⁹⁵+4^n-15)là số cp

ta có: 1+4⁹⁹⁵+4^n-15=2^2n-30+2.2¹⁹⁸⁹+1=(2^2n-30+1)²

đề 1+4⁹⁹⁵+4^n-15=(2^n-15)²+2.2¹⁹⁸⁹+1=(2^n-15+1)² là số cp thì n-15=1989 suy ra n=1974

nếu sai thì sorry bạn nha

+) Xét \(n\ge27\)

Ta có : \(A=4^{27}+4^{2016}+4^n=4^{27}\cdot\left(1+4^{1989}+4^{n-27}\right)\)

Dễ thấy \(4^{27}=2^{2\cdot27}=\left(2^{27}\right)^2\) là số chính phương

Do đó để A là số chính phương thì \(1+4^{1989}+4^{n-27}\) là số chính phương

Đặt \(B^2=1+4^{1989}+4^{n-27}\) và \(n-27=k\)

Khi đó : \(B^2=1+4^{1989}+4^k\)

\(\Leftrightarrow B^2-\left(2^k\right)^2=1+4^{1989}\)

\(\Leftrightarrow\left(B-2^k\right)\left(B+2^k\right)=1+4^{1989}\)

Ta có : \(B+2^k\le1+4^{1989}\) và \(B-2^k\ge1\)

\(\Rightarrow B-2^k+4^{1989}\ge1+4^{1989}\ge B+2^k\)

Hay \(B-2^k+4^{1989}\ge B+2^k\)

\(\Leftrightarrow2\cdot2^k\le4^{1989}\)

\(\Leftrightarrow2^{k+1}\le2^{3978}\)

\(\Leftrightarrow k+1\le3978\)

\(\Leftrightarrow k\le3977\)

Để n lớn nhất thì k lớn nhất, do đó:

Giả sử \(k=3977\) ta có \(B^2=1+4^{1989}+4^{3977}\)

\(\Leftrightarrow B^2=\left(2^{3977}\right)^2+2\cdot2^{3977}+1\)

\(\Leftrightarrow B^2=\left(2^{3977}+1\right)^2\)( đúng )

Vì vậy \(k=3977\Rightarrow n=3977+27=4004\)( thỏa )

+) Xét \(n\le27\) nên hiển nhiên \(n\le4004\)

Vậy n lớn nhất để A là số chính phương thì \(n=4004\)

Akai Haruma

@Akai Haruma giúp e TH n < 27 đc k ạ?

nko tồn tại

+) Xét n≥27n≥27

Ta có : A=427+42016+4n=427⋅(1+41989+4n−27)A=427+42016+4n=427⋅(1+41989+4n−27)

Dễ thấy 427=22⋅27=(227)2427=22⋅27=(227)2 là số chính phương

Do đó để A là số chính phương thì 1+41989+4n−271+41989+4n−27 là số chính phương

Đặt B2=1+41989+4n−27B2=1+41989+4n−27 và n−27=kn−27=k

Khi đó : B2=1+41989+4kB2=1+41989+4k

⇔B2−(2k)2=1+41989⇔B2−(2k)2=1+41989

⇔(B−2k)(B+2k)=1+41989⇔(B−2k)(B+2k)=1+41989

Ta có : B+2k≤1+41989B+2k≤1+41989 và B−2k≥1B−2k≥1

⇒B−2k+41989≥1+41989≥B+2k⇒B−2k+41989≥1+41989≥B+2k

Hay B−2k+41989≥B+2kB−2k+41989≥B+2k

⇔2⋅2k≤41989⇔2⋅2k≤41989

⇔2k+1≤23978⇔2k+1≤23978

⇔k+1≤3978⇔k+1≤3978

⇔k≤3977⇔k≤3977

Để n lớn nhất thì k lớn nhất,nên:

Nếu k=3977k=3977 ta có B2=1+41989+43977B2=1+41989+43977

⇔B2=(23977)2+2⋅23977+1⇔B2=(23977)2+2⋅23977+1

⇔B2=(23977+1)2⇔B2=(23977+1)2( đúng )

Vậy k=3977⇒n=3977+27=4004k=3977⇒n=3977+27=4004( thỏa )

+) Xét n≤27n≤27 nên hiển nhiên n≤4004n≤4004

Suy ra n lớn nhất để A là số chính phương thì n=4004

Nếu thấy đúng thì k cho mình nha

\(A=4^{27}+4^{2016}+4^n\)

Với \(n\ge27\): 

\(A=4^{27}\left(1+4^{1989}+4^{n-27}\right)\)

\(A\)là số chính phương suy ra ​\(B=4^{n-27}+4^{1989}+1\)là số chính phương.​

​\(B=\left(2^{n-27}\right)^2+2^{3978}+1\)​

\(=\left(2^{3977+n-4004}\right)^2+2.2^{3977}+1\)

Với \(n=4004\)thì: 

\(B=\left(2^{3977}\right)^2+2.2^{3977}+1=\left(2^{3977}+1\right)^2\)là số chính phương. 

Với \(n>4004\)thì: 

\(B>\left(2^{3977+n-4004}\right)^2\)

\(B< \left(2^{3977+n-4004}\right)^2+2.2^{3977+n-4004}+1\)

\(=\left(2^{3977+n-4004}+1\right)^2\)

Suy ra \(\left(2^{3977+n-4004}\right)^2< B< \left(2^{3977+n-4004}+1\right)^2\)do đó \(B\)không là số chính phương. 

Vậy giá trị lớn nhất của \(n\)là \(4004\).

hello

Nếu x≥27 thì T=4²⁷(1+4⁷³+4^a-27)
Do 4²⁷ chính phương nên T chính phương khi 1+4⁷³+4^a-27 chính phương.
Đặt 1+4⁷³+4^a-27=n²
Có n²> 4^a-27 = (2^a-27 )²   nên n²≥(2^a-27+1)²
Suy ra 1+4⁷³+4^a-27 ≥ (2^a-27+1)²  =  4^a-27+2^a-26 +1
=>  4⁷³  ≥   2 ^a-26
hay 73.2  ≥  a−26
vậy a  ≤  172
Thay a =172  có  T = 4²⁷.(1+2¹⁴⁵)² là số chính phương.
Vậy a lớn nhất bằng 172