a: Xét ΔADM vuông tại D và ΔAHM vuông tại H có

AM chung

\(\widehat{DMA}=\widehat{HMA}\)

Do đó: ΔADM=ΔAHM

=>AD=AH

mà AD=AB

nên AH=AB

b: Xét ΔAHN vuông tại H và ΔABN vuông tại B có

AN chung

AH=AB

Do đó: ΔAHN=ΔABN

c: \(\widehat{MAN}=\widehat{MAH}+\widehat{NAH}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{DAH}+\widehat{BAH}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot90^0=45^0\)

Đặt AM=x; AN=y

MN^2=AM^2+AN^2

=>\(MN=\sqrt{x^2+y^2}\)

\(P_{AMN}=AM+AN+MN=x+y+\sqrt{x^2+y^2}=2a\)

và x+y>=2*căn xy; \(\sqrt{x^2+y^2}>=\sqrt{2xy}\)

=>\(2a=x+y+\sqrt{x^2+y^2}>=2\sqrt{xy}+\sqrt{2xy}\)

=>\(2a>=\sqrt{xy}\left(2+\sqrt{2}\right)\)

=>\(\sqrt{xy}< =\dfrac{2a}{2+\sqrt{2}}\)

=>\(S_{AMN}=\dfrac{1}{2}xy< =\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{2a}{2+\sqrt{2}}\right)^2=\left(3-2\sqrt{2}\right)a^2\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=\left(2-\sqrt{2}\right)a\)

Gọi chu vi tam giác CMN bằng p.

Tìm ý tưởng: p = BC + CD, hệ thức này gợi cho ta đến tính chất của đường tròn bàng tiếp (xem bài 2). Ở đây là đường tròn bàng tiếp góc C của ΔCMN.

Gọi B’, D’ lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc C của ΔCMN với đường kéo dài cạnh CM, CN.

Ta đã có, CB’ = CD’ = $\frac{p}{2}$ = CB = CD $\Rightarrow$ B’ $\equiv$ B và D $\equiv$ D’. Do đó, tâm đường tròn bàng tiếp góc C của tam giác CMN là điểm A.

Từ đó, $\widehat{MAN}=\widehat{MAC}+\widehat{NAC}=\frac{1}{2}\left(\widehat{BAC}+\widehat{DAC}\right)={45}^{\circ }$.

Gọi chu vi tam giác CMN bằng p.

Tìm ý tưởng: p = BC + CD, hệ thức này gợi cho ta đến tính chất của đường tròn bàng tiếp (xem bài 2). Ở đây là đường tròn bàng tiếp góc C của ΔCMN.

Gọi B’, D’ lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc C của ΔCMN với đường kéo dài cạnh CM, CN.

Ta đã có, CB’ = CD’ = \frac{p}{2}2p​ = CB = CD $\Rightarrow$ B’ $\equiv$ B và D $\equiv$ D’. Do đó, tâm đường tròn bàng tiếp góc C của tam giác CMN là điểm A.

Từ đó, \widehat{MAN}=\widehat{MAC}+\widehat{NAC}=\frac{1}{2}\left(\widehat{BAC}+\widehat{DAC}\right)={45}^\circMAN=MAC+NAC=21​(BAC+DAC)=45∘.

Gọi B’, D’ lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc C của ΔCMN với đường kéo dài cạnh CM, CN.

Ta đã có, CB’ = CD’ = $\frac{p}{2}$ = CB = CD $\Rightarrow$ B’ $\equiv$ B và D $\equiv$ D’. Do đó, tâm đường tròn bàng tiếp góc C của tam giác CMN là điểm A.

Từ đó, $\widehat{MAN}=\widehat{MAC}+\widehat{NAC}=\frac{1}{2}\left(\widehat{BAC}+\widehat{DAC}\right)={45}^{\circ }$

Trên tia đối của tia DC lấy E sao cho DE=BM

Xét ΔABM vuông tại B và ΔADE vuông tại D có

AB=AD

BM=DE

=>ΔABM=ΔADE

=>AM=AE

góc BAM+góc MAN+góc NAD=góc BAD=90 độ

=>góc BAM+góc NAD=45 độ

=>góc EAN=45 độ

Xét ΔEAN  và ΔMAN có

AE=AM

góc EAN=góc MAN

AN chung

=>ΔEAN=ΔMAN

=>EN=MN

C CMN=CM+MN+CN

=CM+MN+CN

=CM+ED+DN+CN

=CM+BM+DN+CN

=BC+CD=1/2*C ABCD