Ta có \(\frac{x-y\sqrt{2019}}{y-z\sqrt{2019}}=\frac{m}{n}\left(m,n\varepsilonℤ,\left(m,n\right)=1\right).\)

\(\Rightarrow nx-ny\sqrt{2019}=my-mz\sqrt{2019}\Leftrightarrow nx-my=\sqrt{2019}\left(ny-mz\right).\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}nx-my=0\\ny-mz=0\end{cases}\Rightarrow}\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{m}{n}\Rightarrow xz=y^2.\)

Khi đó \(x^2+y^2+z^2=\left(x+z\right)^2-2xz+y^2=\left(x+z\right)^2-2y^2+y^2=\left(x+z\right)^2-y^2\)

                                    \(=\left(x-y+z\right)\left(x+y+z\right)\)

Vì   \(x+y+z\)là số nguyên lớn hơn 1 và \(x^2+y^2+z^2\)là số nguyên tố nên

\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=x+y+z\\x-y+z=1\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z=1\)(chỗ này bn tự giải chi tiết nhé, và thử lại nữa) 

Kết luận...

ảnh đẹp

cố làm gì khi biết mk ko thể vì giới hạn mk chi có thế

\(\frac{x-y\sqrt{2019}}{y-z\sqrt{2019}}=m\Rightarrow x-y\sqrt{2019}=my-mz\sqrt{2019}\)

\(\Leftrightarrow\left(mz-y\right)\sqrt{2019}=my-x\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}mz-y=0\\my-x=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=\frac{y}{z}\\m=\frac{x}{y}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{y}{z}\Rightarrow y^2=zx\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=x^2+z^2+2zx-2zx+y^2\)

\(=\left(x+z\right)^2-2y^2+y^2=\left(x+z\right)^2-y^2=\left(x+y+z\right)\left(x+z-y\right)\)

Do \(x^2+y^2+z^2\) là SNT \(\Rightarrow x+z-y=1\Rightarrow y=x+z-1\)

Mặt khác \(y^2=zx\le\frac{\left(x+z\right)^2}{4}\Rightarrow y\le\frac{x+z}{2}\)

\(\Rightarrow x+z-1\le\frac{x+z}{2}\Rightarrow x+z\le2\)

\(\Rightarrow x=z=1\Rightarrow y=1\)

Vậy có duy nhất \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;1\right)\) thỏa mãn