Với số tự nhiên n , \(n\ge3\)
Đặt \(S_n=\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\)
Chứng minh rằng \(S_n< \frac{1}{2}\)
Với số tự nhiên n, \(n\ge3\). Đặt \(S_n=\dfrac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\dfrac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\dfrac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\). Chứng minh: \(S_n< \dfrac{1}{2}\)
a/Chứng minh rằng \(\frac{2}{\left(2n+1\right)\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
b/Áp dụng chứng minh
\(\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+\frac{1}{7\left(\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)}+...+\frac{1}{4003\left(\sqrt{2001}+\sqrt{2002}\right)}<\frac{2001}{2003}\)
Chứng minh: \(\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+\frac{1}{7\left(\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\)\(< \frac{1}{2}\)
Đặt Sn=\(\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\)
CMR : Sn<\(\frac{1}{2}\)
Ta có: \(n+\left(n+1\right)>2\sqrt{n\left(n+1\right)}\left(AM-GM\right)\) suy ra:
\(\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{1}{\left(2n+1\right).\frac{\left(n+1\right)-n}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+\left(n+1\right)}< \frac{1}{2}.\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)Áp dụng vào ta có:
\(S_n< \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{n+1}}< \frac{1}{2}\left(đpcm\right).\)
Đặt Sn= \(\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+\frac{...1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\)
CMR : Sn<\(\frac{1}{2}\)
Bạn bấn vào đây, câu hỏi của bạn có người trả lời rồi Câu hỏi của Lương Ngọc Anh - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
chứng minh \(\frac{1}{3\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}< \frac{1}{2}\)
Đặt biểu thức trên là A.
Ta có: \(\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\)).(\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\))=1
=>\(\frac{1}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}=\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)
Từ trên: \(\frac{1}{\left(2n+1\right).\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{2n+1}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1+n}\)
Lại có :\(\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(n+1\right)+n}< \frac{1}{2}.\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(n+1\right).n}=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)(Bất đẳng thức Cô-si)
Thế số vào, ta được :
A<\(\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)=\(\frac{1}{2}.\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< \frac{1}{2}\)
chứng minh \(\frac{1}{\sqrt{1.2}3}+\frac{1}{\sqrt{2.3}4}+....+\frac{1}{\sqrt{n\left(n+1\right)}\left(n+2\right)}\)<\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)với mọi n là số tự nhiên
chứng minh \(S_n-2=\left(\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^n-\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^n\right)^2\) .Tìm tất cả các số n để \(S_n-2\)là số chính phương
Cho \(S_n=\frac{2}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}\)Chứng minh rằng: \(S_1+S_2+...+S_{2017}< \frac{2017}{2019}\)